Teorema fundamental del cálculo y retirada paquetes

Question

Deje $X$ ser un colector y $\pi:E\rightarrow X$ un vector paquete más de $X$ equipada con una métrica $\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle $.

Deje $f:[0,1]\rightarrow M$ ser suave, un mapa, y considerar la posibilidad de que el pullback paquete de $f^{*}E\rightarrow[0,1]$. Este es el vector paquete cuyo fibra a $t\in[0,1]$ es

$$ (f^{*}E)_{t}=\left\{ (t,v)\,:\, v\en E_{f(t)}\right\} . $$

Deje $\phi:f^{*}E\rightarrow E$ denotar el mapa de $\phi(t,v)=v$.

Deje $\nabla$ denotar una conexión en $E$, y deje $D:=f^{*}\nabla$ denotar la inducida por la conexión en $f^{*}E$.

$D$ se define como sigue: supongamos $F\in\Gamma(f^{*}E)$ es una sección de $f^{*}E$, por lo que el $\phi(F(t))\in E_{f(t)}$ para todos los $t\in[0,1]$. Fix $s\in[0,1]$, y deje $v$ denotar cualquier vector campo en $X$$v(f(s))=\phi(F(s))$.

Entonces, por definición

$$ (D_{\partial_{t}}F)(s)=\left(s,(\nabla_{\dot{f}(s)}v)(f(s))\right)\mbox{ como elementos de }(f^{*}E)_{s}, $$

los puntos que el lado derecho de la expresión anterior es independiente de la elección de $v$.

Supongamos ahora que $f(0)=f(1)$. Entonces si $F\in\Gamma(f^{*}E)$ $\phi(F(1))$ y $\phi(F(0))$ ambos se encuentran en el mismo espacio vectorial $E_{f(0)}$. Mi pregunta es: ¿la siguiente generalización del teorema fundamental de la cálculo de siempre?

$$ |\phi(F(1))-\phi(F(0))| \le \int_{0}^{1}|\phi(D_{\partial_{t}}F)(t)|dt. $$

Answer 1

No. Un simple contador de ejemplo que viene al $E$ es no orientable: considere la cinta de Moebius como unidimensional paquete de más de $S^1$. Podemos dar una métrica en ella y la consideran la inducida por Levi-Civita de conexión.

Si usted comienza con el vector $v$$0$, al transporte paralelo a $v$ alrededor del círculo consigue $-v$. La norma de la derivada es 0, pero la diferencia total es de $2|v|$.

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En el orientable caso no es la mejor. Simplemente tome $E$ a ser la tangente bundle $TX$ y tratarlo como un colector de Riemann. A continuación, transporte paralelo alrededor de un bucle cerrado (para que, por definición, su CARTA de expresión desaparece) no necesariamente trae un vector de nuevo a sí mismo: en general recoger un defecto relacionado con el área del bucle y el cerrado de la curvatura.

Answer 2

Como dice Willie, no es cierto. Es verdadero si $E$ es un paquete del vector plano trivial $X$. En general sin embargo $f$ y $D$ determinan un mapa $\mathrm{Hol}(f,D): E_{f(0)} \rightarrow E_{f(0)}$ llamado el mapa de la holonomía y si $F$ es paralela entonces el lado derecho desaparece pero la LHS es $|\mathrm{Hol}(f,D)(F(0))-F(0)|$ que no es necesariamente cero.