La función coseno por iteración

Question

Desde $\cos (2x) = 2 \cos^2 (x) - 1$, me pregunto acerca de la iteración $(x,y) \mapsto (2x\mod 2\pi, 2y^2-1)$. Se que convergen para el coseno del gráfico? Lo he probado en mathematica y tengo unos cuantos puntos, si me estafan y darle un valor inicial.

x = {1, 0.540302306};
step[{a_, b_}] := {Mod[2 a, 2 Pi], 2 b^2 - 1}
Table[(x = step[x]; x), {k, 1, 30}];
ListPlot[%, AspectRatio -> Automatic]

Aquí una variante basada en la suma de los ángulos de la fórmula da buena convergenc a la gráfica.

x = {1, 0.540302306};
step[{a_, b_}] := (c = Mod[a + 1, 2 Pi]; {c , 
b Cos[1] - If[c < Pi, 1, -1] Sin[1] Sqrt[1 - b^2]})
Table[(x = step[x]; x), {k, 1, 500}];
ListPlot[%, AspectRatio -> Automatic]

Estos dos algoritmos tienen diferencia de las tolerancias de error. En el primer algoritmo, si empiezo con un mal valor inicial como {1, 0.4} puedo obtener una caótica "en la nube", pero en el segundo caso, todavía converge al coseno del gráfico.

Supongo que me gustaría saber, ¿mi original iteración tiene cualquier otro puntos fijos además el coseno del gráfico?

Answer 1

Debido a que el $x$ $y$ coordenadas no interactúan en su iteración, no tiene sentido esperar que cualquier relación entre ellos en el límite.

Por ejemplo, la línea de $\{y=1\}$ también es invariante bajo su mapa.

Usted podría preguntar lo siguiente: ¿cuáles son los verdaderos valores de funciones continuas $h$, definido en el círculo, de tal manera que la gráfica de $h$ es invariante bajo el mapa de definir?

Entonces usted está preguntando acerca de semiconjugacies entre el ángulo de la duplicación y el polinomio de Chebyshev $T(x) = 2x^2-1$. Es decir, su función de $h$ debe satisfacer $h(2x) = T(h(x))$.

Tenga en cuenta que la función de $h(x) = T^{\circ n}(\cos(x))$ donde $T^{\circ n}$ indica el $n$-ésima iteración, proporciona ejemplos adicionales, ya que $$ h(2x) = T^{\circ n}(\cos(2x)) = T^{\circ (n+1)}(\cos(x))=T(h(x)).$$

Parece posible que estos (junto con la constante mapa de $h(x)=1$) son los únicos ejemplos, pero no los he comprobado.

En cualquier caso, no se puede esperar que la convergencia de estas curvas a menos que usted comienza exactamente en ellos.

Answer 2

Le di el primero 400 iteraciones a establecerse a partir de (0.4, 1) y todavía tiene una nube caótica. Incluso empezando por (1,cos(1)), Excel tenía una nube caótica después 400. Creo que no es de extrañar que tengas dos iteraciones independientes que no hablan entre sí y la primera coordenada es sobre la iteración más inestable conocida.