Demostrar que un polinomio tiene por lo menos 1 raíz real

Question

Tengo el % polinomio $P(x)=x^{2}+2013x+1$y un número $n\in\mathbb{N}$. Ahora tengo que demostrar que el polinomio $P(P(...P(x)...)$ % % de veces $(n$% #% tiene al menos una raíz real. ¿Cómo puedo hacerlo?

Answer 1

Observe que la ecuación cuadrática $$P(x)=x$ $ tiene alguna raíz real $x_-<0$.

Cada $n\ge 1$, denotan la iteración #%-th de $n$$P$% #%. Entonces % $ $P^{\circ n}$por lo que existe $$P^{\circ n}(x_-)=x_-<0\quad\text{and}\quad P^{\circ n}(+\infty)=+\infty,$, que $x_n\in(x_-,+\infty)$.

Answer 2

El polinomio tiene dos ceros reales, llaman $a$ y $b$, donde $a<b$ (éste podemos decir tomar el discriminante). Si usted puede mostrar que $P([a,b])\supset [a, b]$, entonces eres libre de casa, porque tiene un preimage $a$ $c_1\in [a,b]$ y $c_1$ tiene un preimage $c_2\in [a,b]$, entonces...