Extensión continua de una función

Question

¿Alguien puede ayudarme con este problema?

Justifique si la siguiente declaración es verdadera o falsa:

Cada función continua en $ \Bbb Q \cap [0,1]$ puede extenderse a una función continua en $[0,1]$ .

Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Vea lo que sucede si toma la función

$$f:\Bbb Q\cap[0,1]:\to[0,1]:x\mapsto\begin{cases} 1,&\text{if }x>\frac{\sqrt2}2\\\\ 0,&\text{if }x<\frac{\sqrt2}2\;. \end{cases}$$

Answer 2

Para añadir a la respuesta de Brian, si $(X,d)$ es un espacio métrico y $D$ es denso en $X$ y $f : D \rightarrow Y$ es una función uniformemente continua donde $Y$ es un espacio métrico completo, entonces $f$ tiene una extensión única para $X$ y la función extendida es también uniformemente continua.

En particular, en su caso, cada uniformemente continua se puede ampliar a una función uniformemente continua sobre los reales.