Como todos sabemos, la luz viaja en movimiento rectilíneo. ¿Pero podemos curvar la luz en una trayectoria parabólica? Si no es en la práctica, ¿es posible en el papel? ¿Alguien ha conseguido hacerlo en la práctica?
Respuestas
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La distribución normal bivariada es la excepción no la regla.
Es importante reconocer que "casi todas" las distribuciones conjuntas con marginales normales son no la distribución normal bivariada. Es decir, el punto de vista común de que las distribuciones conjuntas con marginales normales que no son la normal bivariada son de alguna manera "patológicas", es un poco erróneo.
Ciertamente, la normal multivariante es extremadamente importante debido a su estabilidad bajo transformaciones lineales, por lo que recibe la mayor parte de la atención en las aplicaciones.
Ejemplos
Es útil empezar con algunos ejemplos. La figura siguiente contiene mapas de calor de seis distribuciones bivariadas, todo de los cuales tienen marginales normales estándar. Las de la izquierda y el centro de la fila superior son normales bivariadas, las restantes no lo son (como debería ser evidente). Se describen más adelante.
Los fundamentos de las cópulas
Las propiedades de la dependencia suelen analizarse eficazmente mediante cópulas . A cópula bivariada es sólo un nombre elegante para una distribución de probabilidad en el cuadrado unitario $[0,1]^2$ con uniforme marginales.
Supongamos que $C(u,v)$ es una cópula bivariante. Entonces, inmediatamente a partir de lo anterior, sabemos que $C(u,v) \geq 0$ , $C(u,1) = u$ y $C(1,v) = v$ por ejemplo.
Podemos construir variables aleatorias bivariadas en el plano euclidiano con preestablecido marginales mediante una simple transformación de una cópula bivariante. Sea $F_1$ y $F_2$ sean distribuciones marginales prescritas para un par de variables aleatorias $(X,Y)$ . Entonces, si $C(u,v)$ es una cópula bivariante, $$ F(x,y) = C(F_1(x), F_2(y)) $$ es una función de distribución bivariante con marginales $F_1$ y $F_2$ . Para ver este último hecho, basta con observar que $$ \renewcommand{\Pr}{\mathbb P} \Pr(X \leq x) = \Pr(X \leq x, Y < \infty) = C(F_1(x), F_2(\infty)) = C(F_1(x),1) = F_1(x) \>. $$ El mismo argumento sirve para $F_2$ .
Para la continuidad $F_1$ y $F_2$ , Teorema de Sklar afirma una inversa que implica la unicidad. Es decir, dada una distribución bivariada $F(x,y)$ con marginales continuos $F_1$ , $F_2$ la cópula correspondiente es única (en el espacio de rango apropiado).
La normal bivariante es excepcional
El teorema de Sklar nos dice (esencialmente) que sólo hay una cópula que produce la distribución normal bivariada. Ésta es, acertadamente, la Cópula gaussiana que tiene densidad en $[0,1]^2$ $$ c_\rho(u,v) := \frac{\partial^2}{\partial u \, \partial v} C_\rho(u,v) = \frac{\varphi_{2,\rho}(\Phi^{-1}(u),\Phi^{-1}(v))}{\varphi(\Phi^{-1}(u)) \varphi(\Phi^{-1}(v))} \>, $$ donde el numerador es la distribución normal bivariada con correlación $\rho$ evaluado en $\Phi^{-1}(u)$ y $\Phi^{-1}(v)$ .
Pero, hay lotes de otras cópulas y todo de ellos dará una distribución bivariada con marginales normales que es no la normal bivariante utilizando la transformación descrita en el apartado anterior.
Algunos detalles sobre los ejemplos
Tenga en cuenta que si $C(u,v)$ es am arbitrario cópula con densidad $c(u,v)$ la correspondiente densidad bivariada con márgenes normales estándar bajo la transformación $F(x,y) = C(\Phi(x),\Phi(y))$ es $$ f(x,y) = \varphi(x) \varphi(y) c(\Phi(x), \Phi(y)) \> . $$
Nótese que aplicando la cópula gaussiana en la ecuación anterior, recuperamos la densidad normal bivariada. Pero, para cualquier otra elección de $c(u,v)$ No lo haremos.
Los ejemplos de la figura se construyeron de la siguiente manera (atravesando cada fila, una columna a la vez):
- Normal bivariada con componentes independientes.
- Normal bivariada con $\rho = -0.4$ .
- El ejemplo dado en esta respuesta de Dilip Sarwate . Se puede ver fácilmente que es inducido por la cópula $C(u,v)$ con densidad $c(u,v) = 2 (\mathbf 1_{(0 \leq u \leq 1/2, 0 \leq v \leq 1/2)} + \mathbf 1_{(1/2 < u \leq 1, 1/2 < v \leq 1)})$ .
- Generado a partir del Cópula de Frank con el parámetro $\theta = 2$ .
- Generado a partir del Cópula de Clayton con el parámetro $\theta = 1$ .
- Generada a partir de una modificación asimétrica de la cópula de Clayton con parámetro $\theta = 3$ .
akarri
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Hay muchas preguntas aquí. Permítanme abordar primero la pregunta 3:
Dejemos que $f$ sea una función sobre algún conjunto $A$ . Cuando decimos que $f$ es definido en $A$ queremos decir que $f(x)$ existe para cada $x$ en $A$ . Sin embargo, sólo porque $f$ se define en $A$ no significa que sea continuo en $A$ Puede ser continua o no. La intuición de los libros de texto sobre la continuidad es que $f$ es continua en $A$ si podemos dibujar su gráfica sin coger el lápiz.
Sin embargo, hay que tener en cuenta que para hablar de continuidad en un conjunto, nuestra función tiene que estar definida primero en él.
Ahora bien, los campos vectoriales son en realidad un tipo especial de función (una que introduce puntos y emite vectores), por lo que todo esto se aplica también a los campos vectoriales.
Antes de abordar las preguntas 1 y 2, vamos a distinguir algunos conceptos.
Dejemos que $F$ sea un campo vectorial definido, continuo y con derivadas parciales continuas en una región $U$ en $\mathbb{R}^3$ . Considere las siguientes cuatro propiedades que $F$ puede tener:
(1) ( Independencia del camino. ) La integral de línea de $F$ entre dos puntos no depende del camino elegido. Es decir, si $C_1$ y $C_2$ son caminos entre $a$ y $b$ entonces $$\int_{C_1} F\cdot dr = \int_{C_2} F\cdot dr.$$
(2) ( Las integrales de los bucles cerrados son cero. ) La integral de línea de $F$ alrededor de cualquier curva cerrada es cero. Es decir, si $C$ es una curva cerrada, entonces $\int_C F\cdot dr = 0$ .
(3) ( Exactitud .) Existe una función escalar $f$ con derivadas parciales continuas tales que $F = \nabla f$ .
(4) ( Cerrado .) $\text{curl }F = 0$ .
Hay tres hechos importantes sobre estas cuatro propiedades:
Hecho 1: Las propiedades (1), (2) y (3) son equivalentes.
Es decir, si $F$ satisface cualquiera de los puntos (1), (2) o (3), entonces satisface los otros dos. Cualquiera de estas tres propiedades puede tomarse como la definición de conservadurismo.
Hecho 2: Si $F$ es conservadora (es decir, satisface (1), (2) o (3)), entonces también satisface la propiedad (4).
Prueba: Si $F$ satisface (3), digamos, entonces $\text{curl } F = \text{curl }\nabla f = 0$ .
Hecho 3: Si además $F$ se define en todos los $\mathbb{R}^3$ y tiene derivadas parciales continuas, entonces la propiedad (4) implica las tres primeras.
En otras palabras, si $F$ se define en todos los $\mathbb{R}^3$ (y tiene derivadas parciales continuas), entonces los cuatro conceptos coinciden.
Sin embargo: Como mencionó yoyo en los comentarios, la propiedad (4) no es en general equivalente a la conservatividad. El ejemplo clásico es el campo vectorial en $\mathbb{R}^2 \setminus (0,0)$ dado por $$F(x,y) = \left(\frac{y}{x^2 + y^2}, \frac{-x}{x^2 + y^2} \right).$$ Este campo vectorial tiene la curiosa propiedad de que $\text{curl }F = 0$ pero no satisface ninguna de las tres propiedades de conservación (equivalentes). La razón es que $F$ no está definida en todos los $\mathbb{R}^2$ porque es indefinido en el origen $(0,0)$ .
Hay ejemplos similares para $\mathbb{R}^3 \setminus (0,0)$ pero parece que no se me ocurre ninguna en este momento.
Así que ahora podemos abordar la pregunta 2. Como mencioné anteriormente, el conservadurismo es no lo mismo que decir que $\text{curl F} = 0$ . Sin embargo, si $F$ se define en todos los $\mathbb{R}^3$ entonces sí, coinciden.
Entonces, ¿por qué $\text{curl }F = 0$ ¿tan buena propiedad para tener? Bueno, la respuesta fácil es que (a) es una propiedad fácil de comprobar, y (b) en el caso de que $F$ se define en todos los $\mathbb{R}^3$ Entonces obtenemos las tres condiciones (equivalentes) de conservadurismo, que espero que veas que son buenas.
La intuición física detrás de la conservatividad es que modela fuerzas conservadoras como la gravedad. En este esquema, $F$ representaría la fuerza y $\int_C F\cdot dr$ representaría el trabajo (energía) de aplicar $F$ a algún objeto sobre un camino $C$ . Es intuitivo que el trabajo realizado por la gravedad (digamos) sobre cualquier bucle cerrado es cero: la energía potencial no ha cambiado nada.
Por último, permítanme abordar la primera pregunta. Técnicamente hablando, para hablar de conservadurismo, tienes razón, en realidad no necesitamos las derivadas parciales de $F$ ser continua, o incluso existir. Es decir, podemos hablar de las propiedades (1), (2) y (3) anteriores sin suponer que las derivadas parciales de $F$ existe.
Sin embargo, para hablar de la propiedad (4), en la que tomamos el rizo, tenemos que decir que las derivadas parciales de $F$ existe. ¿Tenemos que suponer además que las derivadas parciales son continuas? Mi opinión es que probablemente no (que alguien me corrija si me equivoco). Pero suponer que las derivadas parciales son continuas es ciertamente una buena suposición simplificadora.
rmmh
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omouse
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Doblamos la luz todo el tiempo, utilizando lentes.
La luz se curva al pasar de un material a otro, debido a la conservación del momento.
La ley de Snell describe cómo se curva la luz.
La luz también se desvía cuando pasa por delante de objetos masivos; si le interesa, investigue sobre las "lentes gravitacionales".
La luz puede ser efectivamente doblado en una trayectoria parabólica utilizando materiales que tienen un índice de refracción cambiante. Esto se hace en la fibra óptica utilizando " fibra de índice graduado ."
Aborted
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Se han demostrado soluciones teóricas a las ecuaciones de Maxwell en las que los haces de luz pueden viajar por trayectorias curvas incluso en el vacío. Ciertamente no soy un experto en este campo así que no trataré de explicar ninguna teoría, sólo recuerdo haber leído sobre el estudio. Puedes leerlo aquí: http://physics.aps.org/articles/v5/44 . O intenta buscar en Google "Airy Beam"
