Interpretación correcta de $\rho_\textrm{rad} \, a^4$ en cosmología

Question

El fluido de radiación suele representarse mediante la ecuación de estado $p = \frac{1}{3} \, \rho$ donde $p$ es la presión y $\rho$ es la densidad de energía. La conservación local de la energía establece que \begin{equation}\tag{1} \rho_\textrm{rad} = \rho_0 \, \frac{a_0^4}{a^4}, \end{equation} donde $\rho_0$ y $a_0$ son constantes y $a$ es el factor de escala cosmológica con unidades de longitud. Este es un tema bien conocido en la cosmología estándar. Lo que me desconcierta es la constante $\rho_0 \, a_0^4$ . ¿Cuál es su interpretación rigurosa? Para la materia fría similar al polvo, es fácil : $\rho_\textrm{mat} \propto a^{- 3}$ y $M = \rho_0 \, a_0^3$ se interpreta como el conservado masa propia total de materia dentro del volumen $a^3$ .

En caso de radiación, la energía $E_\textrm{rad} = \rho \, a^3$ es no se conserva ya que hay presión y la longitud de onda de los fotones se desplaza al rojo mientras el universo se expande. Pero entonces, ¿cuál es la constante $\rho \, a^4$ ? Sospecho fuertemente que está relacionado con el entropía de radiación total en el volumen $a^3$ o tal vez el número de partículas ultrarrelativistas pero no encuentro ninguna fuente fiable al respecto.

Sé que en los modelos estándar RWFL (Robertson-Walker-Friedmann-Lemaître), la entropía se conserva debido a la conservación local de la energía-momento, lo que equivale a decir \begin{equation}\tag{2} \mathrm dE = T \, \mathrm dS - p \, \mathrm dV = -\, p \, \mathrm dV. \end{equation} También sé que la ley de Stefan-Boltzmann establece que $\rho_\textrm{rad} \propto T^4$ y la entropía de radiación clásica es $S \propto T^3 V$ dentro de un volumen $V$ . Así $\rho \, a^4 \propto T^4 \, V^{4/3} \propto S^{4/3}$ que sí se conserva, ya que la entropía no cambia. Pero este razonamiento no me satisface del todo y nunca lo he visto en mis libros de Relatividad General y cosmología.

¿Alguien tiene un argumento convincente de que esto debería ser cierto?

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EDITAR : El siguiente es un aspecto del problema que me desconcierta. El argumento termodinámico anterior da \begin{equation}\tag{3} \rho_\textrm{rad} \, a^4 \propto S^{4/3}. \end{equation} El exponente $\frac{4}{3}$ coincide con el índice adiabático $\gamma = \frac{4}{3}$ del gas ultrarrelativista. ¿Qué hace aquí? Si introduzco el densidad de entropía $\sigma = S/V$ entonces aparentemente podríamos escribir esto : \begin{equation}\tag{4} \rho_\textrm{rad} \propto \sigma^{\gamma}, \end{equation} que recuerda la gaz politrópico ecuación de estado $p \propto \rho_\textrm{mass}^{\gamma}$ . ¿Por qué? ¿Se puede generalizar (para $\gamma \ne \frac{4}{3}$ ) ? Nunca he visto las relaciones (3) y (4) en mis libros de termodinámica, que yo sepa. Necesito una demostración más rigurosa de las mismas, y referencias si es posible.

Si $\rho \, a^4$ está relacionado con el número de partículas en lugar de la entropía, entonces el estado gaseoso politrópico tendría más sentido, ya que $p \propto \rho_\textrm{rad} \propto n^\gamma$ donde $n = N/V$ es la densidad de las partículas.

Answer 1

¡Creo que lo tengo!

Me gustaría tener algunas confirmaciones de que todo el razonamiento a continuación es sólido, y no incluyen algunos errores que no puedo ver.

En general, el estado macroscópico de un perfecto fluido puede describirse mediante un politrópico relación así : \begin{equation}\tag{1} p = n \, k_B \, T = \kappa \, n^{\gamma}, \end{equation} donde $n = N / V$ es la densidad de las partículas, $k_B$ es la constante de Boltzmann, $T$ es la temperatura del fluido y $\gamma$ es el índice adiabático del fluido perfecto (nótese que la temperatura suele ser función de la densidad de las partículas ; $T(n) \propto n^{\gamma \,-\, 1}$ que físicamente tiene sentido cuando $\gamma \ge 1$ ). La constante de proporcionalidad $\kappa$ es arbitraria y puede ignorarse para el resto de esta respuesta. La relación de estado habitual \begin{equation} p = w \, \rho \end{equation} expresemos entonces la densidad de energía $\rho$ en función de la densidad de partículas $n$ . Si el parámetro de estado $w$ es una constante ( $w \ne 0$ ) \begin{equation}\tag{2} \rho \propto n^{\gamma} \end{equation} La energía del fluido dentro de un volumen $V$ i \begin{equation}\tag{3} E = \rho \, V \propto N^{\gamma} \, V^{1 \,-\, \gamma}. \end{equation} Su diferencial da $dE = -\: p \; dV$ si el número medio $N$ es fijo . I \begin{equation}\tag{4} w = \gamma - 1, \end{equation} que sería útil a continuación. Debido a la primera ley de la termodinámica ; $dE = T \; dS - p \; dV$ esto implica que el la entropía se conserva . Debido a la ecuación (2), podemos escribir la siguiente relación \begin{equation}\tag{5} \rho \, V^{\gamma} \propto N^{\gamma}. \end{equation} En el caso especial de un fluido perfecto formado por elementos no interactuantes similar al polvo partículas, la temperatura es despreciable ; $p = n \, k_B \, T \approx 0$ que es una buena aproximación si la densidad de partículas es muy baja. El total masa adecuada del polvo dentro de un volumen $V \propto a^3$ es $M = \rho \, V \propto N$ . Esto sugiere defina el índice adiabático $\gamma = 1$ para la materia polvorienta (por supuesto, tenemos $w \equiv 0$ ya que la presión es despreciable). Por lo tanto, la relación (5) sigue siendo buena incluso para el fluido hecho de "polvo" ( $w = 0$ ).

En el caso de partículas ultrarrelativistas (radiación), tenemos $w = \frac{1}{3}$ y la ecuación (4) da $\gamma = \frac{4}{3}$ por lo que la relación (5) da nuestro resultado final, utilizando $V \propto a^3$ : \begin{equation}\tag{6} \rho \, a^4 \propto N^{\frac{4}{3}}. \end{equation}

Answer 2

En realidad es mucho más sencillo que eso. El número de fotones es una cantidad que se conserva en el vacío cuando la gravitación es lo suficientemente débil como para evitar el efecto Unruh, por lo que la densidad del número de fotones escala del mismo modo que lo hace la densidad del número de materia: $$n = n_0 \frac{a_0^3}{a^3}.$$ Para obtener la densidad de energía total de la radiación se toma la densidad de número espectral (densidad de fotones por unidad de volumen espacial y por unidad de frecuencia, $n_\nu$ ) y calcula: $$\rho_{\mathrm{rad}} = \int_0^\infty h\nu n_\nu \operatorname{d} \nu.$$ Tenga en cuenta que $n_\nu \operatorname{d}\nu$ , una forma diferencial, es una densidad numérica ordinaria escalará de la misma manera que cualquier otra densidad numérica, tomada como unidad, siempre que llevemos la cuenta de los límites de la integral correctamente. Puesto que son $0$ y $\infty$ Sin embargo, eso no es un problema. El resultado es: $$\begin{align}\rho_{\mathrm{rad}} & = \int_0^\infty h \left(\nu_0 \frac{a_0}{a}\right) \left( n_{\nu_0} \operatorname{d} \nu_0 \frac{a_0^3}{a^3} \right) \\ & = \rho_0 \frac{a_0^4}{a^4} .\end{align}$$

Dicho de otro modo, cuando se dispersan los fotones aumentando el volumen en un factor de $a^3$ y aumentar su longitud de onda en $a$ su densidad energética disminuye en $a^4$ .

Nótese que el espectro de fotones en esta derivación puede adoptar cualquier forma, por lo que es más general que una derivación basada en la entropía que supone un gas en equilibrio termodinámico a cierta temperatura.

Editar para añadir:

Lo que me desconcierta es la constante $_0a_0^4$ . ¿Cuál es su interpretación rigurosa?

La interpretación específica de la misma es que es la densidad de radiación cuando el factor de escala, $a$ es 1. Normalmente $a$ por convención, pero se admite cualquier otra convención. La razón más probable de esta convención es que la densidad de radiación actual es la cantidad que más fácilmente podemos medir directamente cuando medimos la temperatura del fondo cósmico de microondas.