Encontrar la longitud del arco de la cardioide: r = 3cos 3 θ

Question

Esto es lo que tengo hasta ahora:

Usando el fórmula $\mathrm ds = \sqrt{r^2 + \left(\frac{\mathrm dr}{\mathrm dθ}\right)^2}$

$$\frac{\mathrm dr}{\mathrm d\theta} = 3\sin\;\theta $$

$$r^2 = 9 - 18\cos\;\theta + 9\cos^2\theta$$

$$\mathrm ds = \sqrt{9 - 18\cos\;\theta + 9\cos^2 \theta + 9\sin^2 \theta}$$

utilizando $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,

$$\mathrm ds = \sqrt{18(1-\cos\;\theta)}$$

Entonces tengo

$$\int_0^{2\pi} \sqrt{18(1-\cos\;\theta)}\mathrm d\theta$$

Pero no estoy seguro de cómo integrarlo.

Answer 1

Para que esto no quede sin respuesta:

Explotar la identidad trigonométrica (que puede obtenerse de la fórmula de doble ángulo de coseno):

$$1-\cos\;\theta=2\sin^2\frac{\theta}{2}$$

la integral se convierte en

$$6\int_0^{2\pi} \sin\frac{\theta}{2}\mathrm d\theta$$

que usted debe ser capaz de manejar.

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Alternativamente, la cardioide es simétrica sobre el eje horizontal, en cambio puede comenzar con la integral

$$2\int_0^{\pi} \sqrt{18(1-\cos\;\theta)}\mathrm d\theta$$

Answer 2

Esta respuesta es correcta e igual a 24.

Sugerencia: También tenga en cuenta,

$$1−\cos(\theta)=2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)$$