Para % $ $$A= \begin{bmatrix}B&0\\C&D\end{bmatrix}$donde $B, C, D$ son matrices que pueden ser rectangulares, es verdadero o falso ese % $ $$\text{rank}(A)=\text{rank}(B)+\text{rank}(D)$
¿Yo creo que si $C=0$ esto es cierto ya que el rango de la A es el número de columnas independiente lineares, que es el número de columnas independientes lineales de B y de D, pero no C afectan esta relación? ¿O es cierto que $\text{rank}(A)=\text{rank}(B)+\text{rank}(D)$ cuando C es distinto de cero?
El rango del bloque triangular de la matriz es mayor que o igual a la suma de las filas de su diagonal de bloques. I. e.: $$\text{rank(A)} \ge \text{rank}(B) + \text{rank}(D).$$
La igualdad no es necesariamente alcanzado, como se ejemplifica en la siguiente matriz $$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},$$ lo que tiene rango 1, pero la diagonal de bloques con rango de 0.
Podemos probar esta desigualdad en las siguientes dos etapas:
Demostrar la desigualdad de la plaza $B$, $D$.
Reducir el rectangular a la plaza del caso.
Para empezar, supongamos que el $B$ $D$ son cuadrados, y considerar su completa SVDs: \begin{align*} B &= U \Sigma V^* \\ D &= W \Lambda Q^*, \end{align*} donde $U,V,W,Q$ son cuadrados unitarios (othonormal) las matrices que contienen vectores singulares como las columnas, y $\Sigma, \Lambda$ son cuadrados diagonales de las matrices que contienen los valores singulares de la diagonal. Sustituyendo estos factorizations en los bloques de $A$ y factorización, vemos que el bloque triangular de la matriz de $A$ es unitarily equivalente a una realidad-triangular de la matriz diagonal con los elementos dados por los valores propios: $$A = \begin{bmatrix} B \\ C & D \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} U \Sigma V^* \\ C & W \Lambda Q^* \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} U \\ & W \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Sigma \\ W^* C V & \Lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V^* \\ & Q^* \end{bmatrix}.$$ Ahora podemos invocar el hecho de que el rango de una matriz triangular es igual a o mayor que el número de su distinto de cero en la diagonal de entradas para llegar a la conclusión deseada: $$\text{rango}(A) = \text{rango}\left(\begin{bmatrix} \Sigma \\ W^* C Q & \Lambda \end{bmatrix}\right) \ge \text{rango}(\Sigma) + \text{rango}(\Lambda) = \text{rango}(B) + \text{rango}(D).$$
Si $B$ y/o $D$ no son cuadradas, simplemente eliminar suficiente "redundante" columnas y/o filas para hacerlas plaza, manteniendo su rango de la misma. Esto siempre es posible hacerlo, ya que
el rango de una matriz es menor que o igual a la menor dimensión de la matriz, y
una matriz de rango $r$ debe tener al menos $r$ linealmente independientes columnas/filas que podemos mantener.
El proceso de fila y columna de la eliminación puede ser caracterizado por la izquierda y a la derecha multiplicando por "selección" de las matrices, creado a partir de una matriz de identidad y eliminar filas o columnas (ver esta pregunta). Llame a la selección de las matrices asociadas con la eliminación de filas y columnas de $A$ por los nombres de $S_R$$S_C$, respectivamente. Tenemos: $$S_R UN S_C = \begin{bmatrix} \tilde{B} \\ \tilde{C} & \tilde{D}, \end{bmatrix}$$ donde $\tilde{B}, \tilde{D}$ tienen el mismo se ubica como $B, D$, respectivamente, pero son cuadrados. Utilizando el hecho de que la clasificación del producto de matrices es menor que el rango de cualquier matriz en el producto, y aplicando el resultado que se muestra arriba para matrices cuadradas, obtenemos \begin{align*} \text{rank}(A) &\ge \text{rank}(S_R A S_C) \\ &= \text{rank}\left(\begin{bmatrix} \tilde{B} \\ \tilde{C} & \tilde{D}, \end{bmatrix}\right) \\ &\ge \text{rango}(\tilde{B}) + \text{rango}(\tilde{D}) \\ &= \text{rango}(B) + \text{rango}(D), \end{align*} cual es el deseado desigualdad.
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