Considere la ecuación cuadrática $ax^2-bx+c=0, a,b,c \in N. $ si la ecuación dada tiene dos raíces reales distintas...

Question

Problema :

Considere la ecuación cuadrática $ax^2-bx+c=0, a,b,c \in N. $ Si la ecuación tiene dos raíces reales pertenecientes al intervalo de $(1,2) $ entonces el número mínimo de valores posibles de una es

(i) $-1 $

(ii) $5 $

(iii)$ 2 $

(iv)$ -5 $

(v) $1 $

Mi planteamiento :

Sabemos que la condición de que dos raíces entre los dos números a saber. $(1,2)$

(1) $f(1) >0 ; $ (2) $f(2)>0$ (3) $1 < \frac{-b}{2a} <2$ (4) $D \geq 0$

Mediante el uso de los de arriba tengo las siguientes :

(1) $a-b+c >0$

(2) $4a-2b+c >0$

(3) $1 < \frac{b}{2a} <2$

(4) $ b^2-4ac \geq 0$

Por favor guía de cómo obtener la respuesta que se ha dado en más de cinco opciones. Gracias..

Answer 1

En primer lugar, podemos hacer algunas simples observaciones sobre el problema:

1. deje $ax^2-bx+c = f(x)$
2. $a,b,c \in \Bbb{N} \Rightarrow a,b,c \ge 0$
3. hay $2$ distintas raíces, por lo que la parábola no es un degenerado una $\Rightarrow a \ge 1$
4. $x_{1,2} \in ]1,2[ \Rightarrow x_1 \cdot x_2 > 1\cdot 1 = 1 \Rightarrow \frac{c}{a} > 1 \Rightarrow a < c \Rightarrow c \ge 2$
5. aplicando el Teorema de Rolle en $]1,2[$ obtenemos $e \in ]1,2[ | f'(e) = 0 = 2\cdot a\cdot e-b = 0$
6. soluciones de $a=-1,-5$ puede ser excluido
7. obviamente $x_{1,2} \in \Bbb{R} \Rightarrow \Delta = b^2-4ac > 0$

Por el hecho #5 obtenemos $$\exists e \in ]1,2[ | f'(e) = 2\cdot a\cdot e-b = 0 \Rightarrow\\a=\frac{b}{2e}\Rightarrow\\max\{a\} = \frac{b}{2}, min\{a\} = \frac{b}{4}\Rightarrow\\\frac{b}{4} < a < \frac{b}{2}$$ Ahora vamos a enchufe en algunos de los valores de

• b=0 $\Rightarrow 0<a<0$ lo cual es imposible
• b=1 $\Rightarrow \frac14<a<\frac12$, imposible también
• b=2 $\Rightarrow \frac14<a<\frac12$, otro caso imposible
• b=3 $\Rightarrow \frac34<a<\frac32 \Rightarrow a = 1$ pero $x_{1,2} = \frac{3\pm\sqrt{9-4c}}{2} = \frac32 \pm \frac{\sqrt{9-4c}}{2} \notin ]1,2[$ si $c=2$; obviamente $c>2 \Rightarrow \Delta <0$
• b=4 $\Rightarrow 1<a<2 \Rightarrow a \in \Bbb{N}$, imposible; por lo $a=1$ puede ser excluido
• b=5 $\Rightarrow \frac54<a<\frac52 \Rightarrow a =2$, sin embargo,$x_{1,2} = \frac{5\pm\sqrt{25-8c}}{4} = \frac54 \pm \frac{\sqrt{25-8c}}{4} \notin ]1,2[$$c\le3$, mientras que $c>3 \Rightarrow \Delta <0$
• b=6 $\Rightarrow \frac32<a<3 \Rightarrow a =2$, pero si usted llega, $x_{1,2}\notin]1,2[$ para cualquier valor aceptable de $c$
• b=7 $\Rightarrow \frac74<a<72 \Rightarrow a =2,3$, y se puede comprobar que estos valores pueden ajuste
• b=8 $\Rightarrow 2<a<4 \Rightarrow a =2 $ puede ser descartado y el valor mínimo de $a$$5$; de hecho, si $$a=5, b=15, c=11 \Rightarrow x_1 \approx 1.28, x_1 \approx 1.72$$