Yo he pensando sobre esta pregunta desde un tiempo muy largo. Si un número complejo se puede cebar luego que partes de un número complejo debe ser el primer para todo número complejo a ser primer.
Respuestas
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La noción de "prime" sólo tiene sentido en relación a un anillo de la base.
Por ejemplo, en los enteros $\mathbb{Z}$ el número 5 es primo, mientras que en los enteros de Gauss $\mathbb{Z}[i]$ hemos
$$5 = (2 + i)(2 - i) = 2^2 - i^2 = 4 - (-1) = 5$$
y en el ring $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ hemos
$$5 = (\sqrt{5})^2$$
así, a lo largo de estos anillos de 5 es no un número primo.
La definición de primer probablemente usted está familiarizado con-un número es primo si es divisible sólo por sí mismo y uno, ni siquiera realmente trabajo a través de los números enteros: por ejemplo, 5 no es divisible solamente por 1 y 5, pero también por -1 y -5. Así que necesitamos para formular la definición de un primer diferente, conservando todavía la idea básica, para hacer sentido de ella en un arbitrarias anillo.
Observa la siguiente diferencia entre números primos y compuestos: desde el 5 es primo, si tenemos dos números de $a$ $b$ tal que $ab$ es un múltiplo de 5, entonces, obviamente, uno de $a$ o $b$ tiene que ser un múltiplo de 5 solo por única factorización. Por otro lado, si $ab$ es un múltiplo de 15, puede ser el caso de que ni $a$ ni $b$ es un múltiplo de 15, porque podríamos tener $a$ un múltiplo de 3 pero no de 5 y $b$ un múltiplo de 5 y no 3.
Esto nos da nuestra definición de "prime" para un general de anillo: anillo elemento es el primer si no es ni cero ni una unidad, y además tiene la propiedad de que cuando se divide un producto se debe dividir al menos uno de los factores.
Hay un gran número de anillos contenidas en los números complejos, y en muchos de estos anillos no son reales números complejos que son los números primos en ese anillo. Sin embargo, dado cualquier número que prime en un anillo, un anillo más grande en el que no prime, tal y como vimos anteriormente que el 5 es el primer largo de los enteros, pero no sobre los enteros de Gauss $\mathbb{Z}[i]$$\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$.
En particular, desde la $\mathbb{C}$ es un campo cada elemento distinto de cero es una unidad, por lo que nada es el primer largo de los números complejos. (Del mismo modo, nada es primo sobre los números reales, o los números racionales.) Sin embargo, reitero que muchos de los números complejos son primos más pequeños anillos: por ejemplo, resulta que $2 + i$ es el primer largo de $\mathbb{Z}[i]$.
Nota: varias respuestas (incluido este) han traído los enteros de Gauss específicamente. Son sin duda un ejemplo de un sub-anillo de los números complejos que contienen no real de los números complejos, pero sólo para ser claros son de ninguna manera "el" ejemplo natural de aquí, están en el mismo plano de igualdad con todos los demás.
Moya
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26
Sí, un número complejo puede ser el primer (en el sentido tradicional de la palabra). Recordemos que $\mathbb R \subseteq \mathbb C.$ por lo Tanto, todos los números que tradicionalmente se piensa como primer son de por sí complejo (aunque no de no-real). Así que, en este caso, se necesita de $a+bi$ que $a$ ser el primer (en el sentido tradicional) y $b=0.$
Sin embargo, no es la noción de Gauss prime. Una Gaussiana prime es una Gaussiana entero (un número complejo $a+bi$ tal que $a,b\in\mathbb Z$) que satisface uno de los siguientes:
Si $a,b\neq 0,$ $a+bi$ es Gaussiano primer fib $a^2+b^2$ (tradicionalmente) prime;
Si $a=0,$ $bi$ es Gaussiano primer fib $|b|$ (tradicionalmente) primer y $|b|\equiv 3 \pmod 4;$
Si $b=0,$ $a$ es Gaussiano primer fib $|a|$ (tradicionalmente) primer y $|a|\equiv 3 \pmod 4.$
Mark Fischler
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11615
El concepto análogo sería considerar la posibilidad de los enteros de Gauss $g = m + ni : m,n \in \Bbb{Z}$ y decir que $g$ es primo si no hay ningún par de enteros de Gauss tal que $ hk = g; |h| \neq 1; |k|\neq 1$.
Así, por ejemplo, en el campo de los enteros de Gauss, $5 = (2+i)(2-i)$ no es primo.
Dos advertencias aquí:
(1) no Hay una manera sencilla de saber de $g$ es primo, en función de si sus partes reales e imaginarias son los principales.
(2) Los Enteros de Gauss son no una única factorización de dominio; es decir, un número puede tener dos no trivialmente distintos factorizations. La última propiedad es muy probable que el lugar donde Fermat "demasiado grande para el margen de" la prueba fue defectuosa, porque, de hecho, hay una muy inteligente (tal vez notable) la prueba de su último teorema que utiliza los números de esta forma y se asume que la única factorización.
Oli
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89
Si usted está pensando de primos Gaussianos, $a+bi$ puede ser primer % ni $a$ni $b$ prime. El ejemplo más simple es $1+i$. Más complicado es $4+15i$. Aquí he utilizado el hecho de que si $a^2+b^2$ es un primer ordinario, entonces $a+bi$ es un primo gaussiano.
par
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5570
Un primo es un entero $p>1$ que no puede ser escrito como $p=ab$ donde $a,b>1$ son enteros. Claramente, cualquier prime en este sentido es también un número complejo (desde $\mathbb{N}\subset\mathbb{C}$).
De manera más abstracta, un elemento $p$ de un anillo conmutativo es el primer si es distinto de cero, noninvertible (es decir, no de una unidad), y satisface la condición $$ p\mid ab\implica p\mid\text{ o }p\mid b. $$ Usted puede comprobar que esto es consistente con nuestra definición original en $\mathbb{N}$.
David señala un ejemplo en $\mathbb{Z}[i]$.
