Dos personas A y B lanzando dados

Question

Una comienza por lanzar un dado hasta que él consigue $6$, entonces B hace lo mismo.
¿Cuál es la probabilidad de que Una lanza más veces de las que B?

Yo intente resolverlo, pero tengo 2 respuestas diferentes:
1. Marcamos: $X=$¿cuántas veces Una lanza, $Y$=¿cuántas veces B produce. $$P(X>n|Y=n)=\frac{P(X>n)\cdot P(Y=n)}{P(Y=n)}=P(X>n)\\ \sum_{k=n}^\infty\left(\frac56\right)^{k-1}\cdot \left(\frac16\right)=\left(\frac65\right)^{1-n}=\left(\frac56\right)^{n-1}$$ 2. La segunda forma es: se puede decir que "B lanzar menos veces que Una", así que vamos a suponer que Una lanza los dados $n$ veces. Así: $$P(Y<n)=\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac56\right)^{k-1}\cdot \left(\frac16\right)=1-\left(\frac56\right)^{n}$$

Son opuestos, y no sé que uno de ellos es correcto o ambos de ellos son incorrectos..

Por favor ayuda con esto.
Gracias!

Answer 1

Los dados que lanzan A y B son dos eventos independientes, por lo que debes multiplicarlos y evaluar una suma infinita de series geométricas.

$\ displaystyle P (X> n) = \ left (\ dfrac {5} {6} \ right) ^ n \\\\ P (Y = n) = \ left (\ dfrac {5} {6} \ right ) ^ {n-1} \ cdot \ left (\ dfrac {1} {6} \ right)$

y la probabilidad requerida:

$\ displaystyle \ mathbb {P} = \ sum_ {n \ ge 1} P (X> n) \ cdot P (Y = n) = \ dfrac {5} {11} \ approx 0.4545$

Answer 2

Con el fin de evitar la doble suma, tenga en cuenta que el problema es simétrico. La probabilidad de que Una lanza más veces de las que B es igual a la probabilidad de que B produce más veces de las que Una, la llamada de esta probabilidad $p$.

Ahora vamos a calcular la probabilidad de que ambos a y B lanzar el mismo número de veces, esta se $1-2p$. Este es

$P(A=B) = \sum_k P(A=k, B=k) = \sum_k P(A=k) P(B=k) = \sum_k P(A=k)^2$

y podemos escribir la suma explicilty como

$\sum_{k=1}^\infty ((5/6)^{k-1} (1/6))^2$

o, después de la simplificación,

$(1/36) \sum_{j=0}^\infty (25/36)^j$.

Recapitulación de la serie, este es $1/11$. Por lo $1-2p = 1/11$ y, por tanto,$p = 5/11$.

Answer 3

Soy un nuevo usuario y realmente necesito 5 puntos. Espero que esto ayude.

Answer 4

Como se ha señalado, si encontramos la probabilidad$p$ de un empate, sabremos la respuesta. La probabilidad de un empate se encuentra fácilmente al sumar una serie infinita. Lo calculamos de otra manera.

Un empate puede suceder de dos maneras: (i) tanto A como B obtienen un$6$ en su primer lanzamiento o (ii) ninguno lo hace, pero finalmente empatan. La probabilidad de (1) es$\frac{1}{36}$. La probabilidad de (ii) es$\frac{25}{36}p$. Por lo tanto,$$p=\frac{1}{36}+\frac{25}{36}p. Resuelve esta ecuación lineal para$p$. Obtenemos $p=\frac{1}{11}$.

Answer 5

Tenga en cuenta que si A no obtiene una 6 primera tirada (probabilidad 5/6), entonces la probabilidad de que B obtenga un 6 primero es la misma que la probabilidad de que A obtenga un 6 primero antes de la primera tirada.

Si$p_A$ es la probabilidad de que A obtenga primero un 6,$p_B$, de B primero. Entonces nosotros tenemos

ps

Asi que

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por lo tanto

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