De $p_{1},p_{2},p_{3}$ elegir una base $B$ para $W$

Question

Estoy muy confundido porque aquí no tenemos vectores o matrices. Así que realmente no tengo idea de cómo resolver esa tarea. Pensé en convertir esto en una matriz de alguna manera, pero no parece funcionar. Esto no es una tarea, es una tarea de un examen antiguo.

Deja que $W= \text{span}(p_{1},p_{2},p_{3}), W \subseteq R_{2}[x]$

$p_{1}(x)= 4x^2+3x^3$

$p_{2}(x)= 1+2x^2+3x^3$

$p_{3}(x) = 3-2x^2+3x^3$

De $p_{1},p_{2},p_{3}$ elige una base $B$ para $W$ y explica por qué $B$ es una base para $W.

¿Y qué significa este $R_{2}[x]?

Realmente espero que puedas dar una respuesta detallada, también recompensaré esa respuesta con una recompensa porque necesito saber cómo resolver tareas como esa!

Answer 1

El símbolo $\mathbb{R}_2[x]$ generalmente denota el espacio de polinomios (en la variable $x$ con coeficientes en $\mathbb{R}$) de grado $\leq 2$. Dado que en su caso, algunos de sus polinomios son de grado tres, asumiré que esto es un error tipográfico en la pregunta original y que la intención era escribir $\mathbb{R}_3[x]$.

Suponiendo eso, se le dan tres vectores $p_1, p_2, p_3$ en algún espacio vectorial $\mathbb{R}_3[x]$ y consideramos el espacio vectorial $W$ generado por ellos. Este es un espacio vectorial de dimensión $3$ o menos. Para determinar la dimensión precisa de $W$ y una base, necesitamos entender si los vectores $(p_1, p_2, p_3)$ son linealmente independientes y, si no lo son, elegir un subconjunto que sea linealmente independiente.

En su caso, $(p_1)$ solo es linealmente independiente porque no es cero. Luego, $(p_1, p_2)$ es una lista linealmente independiente porque $p_2$ no es un múltiplo escalar de $p_1$ ($p_1$ no tiene coeficiente libre mientras que $p_2$ tiene un coeficiente libre). En cuanto a $(p_1, p_2, p_3)$, podemos ver que

$$3 - 2x^2 + 3x^3 = 3(1 + 2x^2 + 3x^3) - 2(4x^2 + 3x^3)$$

así que $p_3 = 3p_1 - 2p_2$ es una relación lineal que muestra que $p_3$ es dependiente de $(p_1, p_2)$. Por lo tanto, $W$ es bidimensional con una base dada por $(p_1, p_2)$.