Usa la regla de la cadena para encontrar el valor

Question

Use la regla de cadena para encontrar el valor de$\frac{dz}{dt}$ cuando$t = 3$.

$z  =  5x^2 − 2y, x  =  t^3 + 5, y  =  5t − 6$

Realmente podría usar algo de ayuda para responder esta pregunta. Por favor ayuda si puedes.

Esta es mi manera de resolver la pregunta. I subt t = 3 en la ecuación xey.

$x  =  (3)^3 + 5 = 14$

$y  =  5(3) − 6 = 9$

Y luego, sub z e y en la ecuación z.

$z  =  5(14)^2 − 2(9)=962$

Me preguntaba dónde ir desde aquí o si usar un enfoque diferente.

Answer 1

Como$x$ y$y$ son ambas funciones de$t$, se deduce que$z$ es una función de$t$. Usando la regla de cadena multivariable ( ver esto ) obtenemos$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}.$ $ Tenemos$\frac{\partial z}{\partial x}=10x$ y$\frac{\partial z}{\partial y}=-2$. Además,$\frac{dx}{dt}=3t^2$ y$\frac{dy}{dt}=5$. En$t=3$, obtenemos$$x=3^3+5=32\quad\text{and}\quad \frac{dx}{dt}=3(3^2)=27.$ $ Por lo tanto,$$\frac{dz}{dt}=10(32)\cdot 27+(-2)5=8630.$ $

Answer 2

Sugerencia: tenga en cuenta la diferencia entre el$\frac{dz}{dt}$$z$. Lo que se ha calculado es el valor explícito de $z$ al $t=3$; sin embargo, la pregunta está pidiendo la tasa de cambio de z con respecto al cambio en t, o $\frac{dz}{dt}$.

Dada una función de dos variables$x$$y$, usamos la regla de la cadena:

\begin{equation}\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt} \end{equation}

La idea que motiva a esta regla de la cadena es que queremos usar una expresión que nos permita tener en cuenta los cambios en cada una de las direcciones ortogonales $x$$y$, y, a continuación, cada uno de los cambios $\Delta x$ $\Delta y$ con respecto al cambio $\Delta t$ (ya que tanto $x$ $y$ de las mismas son funciones de $t$). Sólo una vez que hemos hecho todo el cálculo podemos decir que hemos obtenido $\frac{dz}{dt}$.