¿Cómo puedo probar que$\sin (10^\circ), \sin(1^\circ), \sin(2^\circ), \sin(3^\circ), \tan(10^\circ)$ son irracionales?

Question

Demuestre que$\sin (10^\circ)$,$\sin(1^\circ)$,$\sin(2^\circ)$,$\sin(3^\circ)$ y$\tan(10^\circ)$ son irracionales.

Mi intento:

Dejar $x = 10^\circ$. Entonces

$$ \begin{align} x &= 10^\circ\\ 3x &= 30^\circ\\ \sin (3x) &= \sin (30^\circ)\\ 3\sin (10^\circ)-4\sin^3(0^\circ) &= \frac{1}{2} \end {align} $$

Ahora deja $y = \sin (10^\circ)$. Entonces

$$ \begin{align} 3y-4y^3 &= \frac{1}{2}\\ 6y-8y^3 &= 1\\ \tag18y^3-6y+1 &= 0 \end {align} $$

¿Cómo puedo calcular las raíces de$(1)$?

Answer 1

Nota: Todo lo que quiere mostrar es que no es racional.

Sugerencia: aplique el teorema de la raíz racional . ¿Qué posibles raíces racionales hay? Ahora mira si son raíces.

Answer 2

Aquí hay un enfoque diferente para$\sin(1^\circ)=\sin\left(\frac{2\pi}{360}\right)$ (los otros casos son similares).

Los números complejos$\zeta_{1,2}=e^{\pm\frac{2\pi}{360}i}$ son enteros algebraicos (son raíces de$x^{360}-1$) y, por lo tanto,$\zeta_1+\zeta_2=2\sin\left(\frac{2\pi}{360}\right)$ es un número entero algebraico. Si$\sin\left(\frac{2\pi}{360}\right)$ es racional, entonces$2\sin\left(\frac{2\pi}{360}\right)$ es racional y, por lo tanto, entero (los únicos enteros algebraicos racionales son los enteros).
Entonces$2\sin(1^\circ)=-2,-1,0,1$ o$2 \Rightarrow\Leftarrow$.

Answer 3

Uno puede utilizar una característica de los números complejos, y en el período de un conjunto finito.

Considerar el conjunto de cyclotomic números, es decir, $C(n) = \operatorname{cis}(2\pi/n)^m$ donde $\operatorname{cis}(x)=\cos(x)+i\sin(x)$. Un conjunto es cerrado para la multiplicación. El 'Z-span" de los es el conjunto de valores de $\sum(a_m \operatorname{cis}(2\pi/n)$, más de n, también está cerrado a la multiplicación.

Ahora comenzamos con la observación de que un lapso de un conjunto finito, cerrado a la multiplicación, no puede incluir las fracciones. Esto está demostrado por mostrar que si un número racional, no es un entero, está en el conjunto, por lo que debe todos sus poderes. (es decir, si $1/2$ es edificable por pasos en múltiplos de $N°$, (por ejemplo, una caminata al azar de la unidad-tamaño de los pasos exactos grados), por lo que deben todos los valores de $1/2^a$).

Ya que esto significa que la intersección de la cyclotomic números de $\mathbb{C}_n$ y los racionales $\mathbb{F}$ no puede incluir cualquiera de las fracciones, y por lo tanto debe darle a $\mathbb{Z}$.

El doble-coseno de la mitad de los ángulos, están dadas por $1-\operatorname{cis}(2\pi/n)$, y por lo tanto vemos que la única números racionales que pueden ocurrir en los senos y cosenos, es $1/2$. El acorde, y el suplemento de acordes son completamente libre de los racionales, y además, ningún producto de dichos números pueden ser racional.