Supongamos que los elementos$a, b$ y$a+b$ son unidades en un anillo conmutativo$R$. Muestre que$a^{-1} + b^{-1}$ también es una unidad.

Question

Supongamos que los elementos$a, b$ y$a+b$ son unidades en un anillo conmutativo$R$. Muestre que$a^{-1} + b^{-1}$ también es una unidad.

Esto es lo que tengo:

$a+b =b+a$ ya que$R$ es conmutativo.

Ahora,

$$ (b + a) \ cdot b ^ {- 1} = 1 + ab ^ {- 1} \\ a ^ {- 1} \ cdot (1 + ab ^ {- 1}) = a ^ {- 1 } + b ^ {- 1} $$

Por lo tanto,$a^{-1} + b^{-1} =a^{-1} \cdot (a+b) \cdot b^{-1}$

Por lo tanto, $(a^{-1} + b^{-1})^{-1} = b \cdot (a+b)^{-1} \cdot a$

Y, por lo tanto,$a^{-1} + b^{-1}$ también es una unidad en$R$.

¿Mi respuesta suena lógico? ¿O hay errores en eso?

Answer 1

Tu respuesta funciona perfectamente bien. De hecho, tu respuesta también funciona en anillos no conmutativos .

Cuando decimos que un anillo es conmutativo, nos referimos a$ab = ba$. Tendremos$a + b = b + a$ en cualquier anillo.

Answer 2

Tu prueba está bien.

Una forma de descubrirlo es calculando libremente: $$ \ frac {1} {\ dfrac {1} {a} + \ dfrac {1} {b}} = \ frac {1} {\ dfrac {a + b} {ab}} = \ frac {ab} {a + b} $$