Si ambos $P$ y $Q$ son verdaderas, ¿cómo puedo saber que $P$ implica $Q$ ?

Question

Estoy intentando comprender los fundamentos de la lógica matemática para poder estudiar pronto matemáticas discretas e informática.

Tengo un gran problema para entender la implicación. Entiendo la idea intuitivamente muy bien; por ejemplo:

$$ x >0 \implies 2x>0 .$$

O

$$ x \text{ is a prime number} \implies x \geq 2 .$$

Observo que siempre hay una (conexión) entre la hipótesis y la conclusión; parecen estar relacionadas y caer en el mismo contexto.

Lo que no entiendo es: según la tabla de verdad, dos proposiciones cualesquiera pueden estar vinculadas a través de una implicación aunque no estén relacionadas en absoluto, o pertenezcan a contextos diferentes.

Por ejemplo:

$$ \text{A day is 24 hours} \implies \text{A cat has four legs and a tail} .$$

que es lógica o matemáticamente VERDADERO, porque ambas afirmaciones son verdaderas y según la tabla de la verdad cuando ambas entradas son verdaderas para dos afirmaciones cualesquiera entonces la implicación es verdadera.

¿Cómo puede ser eso cierto?

Otro ejemplo:

$$ 2 \text{ is a prime number} \implies \text{An hour is 60 minutes}.$$

de nuevo, que es lógica o matemáticamente VERDADERO, porque ambas afirmaciones son verdaderas y de acuerdo con la tabla de verdad cuando cuando ambas entradas son verdaderas para dos afirmaciones cualesquiera, entonces la implicación es verdadera.

¿Cómo puede ser eso cierto? Esa es mi primera pregunta.

La segunda pregunta podría ser la misma:

De todos modos, ¿cómo podemos utilizar las tablas de verdad con la implicación?

Lo que entiendo es que las tablas de verdad se utilizan para enumerar las probabilidades de la salida en función de los valores lógicos de las entradas. Así que el valor de la salida de cualquier línea en la tabla de verdad depende (sólo) de los valores lógicos de las entradas en esa línea y no tiene nada que ver con la conexión condicional entre las dos entradas.

¿Cómo podemos mostrar una declaración condicional en una tabla de verdad de la misma manera que mostramos una puerta lógica o así? En otras palabras, ¿cómo puedo saber sólo a partir de los valores de $P$ y $Q$ que $P \implies Q$ ?

Answer 1

Aquí está la tabla de verdad para una implicación:

$$ \begin{array}{ccccc} P & & Q & & P \to Q \\ T & & T & & T \\ T & & F & & F \\ F & & T & & T \\ F & & F & & T \end{array} $$

Puedes pensar en una implicación como una promesa condicional. Si cumples la promesa, es cierta. Si rompes la promesa, es falsa.

Si les digo a mis hijos: "Os daré una galleta si limpiáis". Entonces ellos limpian. Más vale que les dé una galleta. Si no lo hago, he mentido. Sin embargo, si no limpian, puedo darles una galleta o no. Tampoco he prometido nada si no cumplen su parte del trato.

En otras palabras, una implicación es falsa sólo si la hipótesis es verdadera y la conclusión es falsa.

Lógicamente $P \to Q$ equivale a $\neg P \vee Q$

Tuve un profesor de informática al que le gustaba prometer cosas a sus hijos con una premisa falsa. Así no se veía obligado a cumplirlas. Ejemplo: "Si la luna está hecha de queso verde, te regalaré una x-box".

Answer 2

Piénsalo así:

Si un día tiene 24 horas, ¿un gato tiene 4 patas y una cola?

Aunque no estén relacionados, la respuesta es sí, por lo que un día de 24 horas implica que un gato tiene 4 patas y cola.

Si el 2 es un número primo, ¿tiene una hora 60 minutos? Sí.

Siguiendo con la idea de la galleta, digamos que ya tienes una galleta en la mano y estás a punto de dársela a tu hijo. Te dice: "Si limpio mi habitación, ¿me das una galleta?". Es probable que le digas "¡sí!". Técnicamente, es cierto que le darás una galleta si limpia su habitación. No hace falta que sepa que se la vas a dar de todos modos.

Answer 3

Mientras todas las proposiciones atómicas P, Q, R, ... dentro de una fórmula compuesta C tengan asignados valores de verdad en {0, 1}, se sostiene que C tomará un valor de verdad en {0, 1}. Aquí 0 indica falsedad y 1 verdad. Por proposición atómica entiendo cualquier variable como "p", "q" o "r" o constante como "1" o "0". Se trata de una forma de enunciar el principio de verdad-funcionalidad en la lógica proposicional clásica. Así, mientras p y q tengan asignados valores de verdad en {0, 1}, (p->q) tendrá un valor de verdad en {0, 1} por este principio. Aquí "->" indica una función de verdad de dos argumentos, concretamente el material condicionado .

Por lo tanto, si se asigna tanto a p como a q un valor de verdad de 1, entonces sólo por el principio de verdad-funcionalidad (p->q) tendrá un valor en {0, 1}. Entonces, si p es verdadera, y q es verdadera, ¿es (p->q) falsa o verdadera? Bueno, usted señaló arriba, (x >0) ====> (2x>0) es verdadera, cuando (x>0) es verdadera y (2x>0) es verdadera. Por lo tanto, usted sabe de al menos un caso con (p->q) verdadera con ambos p verdadera y q verdadera también. Ahora bien, si aceptáramos un solo caso de (p->q) como falso con p verdadero y q verdadero también, entonces tendríamos una violación del principio de verdad-funcionalidad en la lógica proposicional clásica, o la haríamos inconsistente (ya que (p->q) toma valor de verdad verdadero en un caso en el que p y q vienen como verdaderos, y otro en el que (p->q) toma valor de verdad falso en otro caso en el que p y q vienen como verdaderos). Ambas cosas resultan problemáticas para la lógica proposicional clásica. Así que, básicamente, para hablar con coherencia hay que aceptar (p->q) como verdadero en la lógica proposicional clásica siempre que p sea verdadero y q sea verdadero.

El problema radica en que los valores de verdad de las proposiciones atómicas (las variables o constantes) y las definiciones de las operaciones lógicas (funciones de verdad) determinan completamente el valor de verdad de una instancia particular de algo como (p->q). El significado de "p" y "q" no tiene ninguna relevancia en el valor de verdad de (p->q), sólo los valores de verdad de "p" y "q". El principio de verdad-funcionalidad implica esto.

Ahora bien, existen otras formas de interpretar una palabra como "implica" que no sea "->", o algún otro símbolo que pueda utilizarse para el material condicionado . Como ejemplo conocido, algunos lógicos han interpretado "implica" como un condicional estricto . Sin embargo, estas interpretaciones se refieren a algo que no es verdad-funcional. Para reiterar, un enunciado verdadero A puede "implicar" un aparentemente no relacionado con el enunciado B, debido al principio de verdad-funcionalidad. El significado de algo como (p->q) no es tanto que p implique a q en el sentido de algún tipo de conexión entre p y q, sino más bien que no se da el caso de que p sea verdadero y q sea falso simultáneamente.

Las tablas de la verdad no enumeran las probabilidades. Te dicen qué valor lógico tiene la salida en función de la(s) entrada(s). La tabla de verdad depende de los valores de las entradas, Y de la función, es decir, de la conectiva, que las une. Las tablas de verdad para la conjunción y el condicional material tienen las mismas entradas, sin embargo, tienen diferentes conectivos que unen las variables, y por lo tanto tienen diferentes salidas en su columna final.

Como indica esta tabla de la verdad:

p   q  (p->q)
0   0     1
0   1     1
1   0     0
1   1     1

Si p es falso, entonces (p->q) es verdadero. Si q es verdadera, entonces (p->q) es verdadera. Si p es verdadera, entonces (p->q) tiene el mismo valor de verdad que el de q. Si q es falsa, entonces (p->q) tiene el mismo valor de verdad que la negación de p.

Adenda: En la lógica clásica cualquier Un enunciado verdadero dado (tautología) está relacionado con cualquier otro enunciado verdadero y pertenece al mismo contexto que cualquier otro enunciado verdadero. Se relacionan en el sentido de que, dada cualquier afirmación verdadera, se puede derivar cualquier otra afirmación verdadera. Pertenecen al mismo contexto en el sentido de que existen en el ámbito de una única derivación.

Answer 4

Sí, una implicación así es rara. Sientes que el antecedente debe ser de alguna manera relevante para el consecuente. Resulta que hace que el razonamiento matemático sea mucho más ...limpio... si operas con él usando las reglas de la tabla de verdad.

La forma en que debes pensar en la implicación en el entorno matemático es por lo molesto que estarías si alguien afirmara que "P implica Q" basándose en que P y Q son verdaderos o no. La única situación en la que deberías estar molesto es si P es verdadera y Q es falsa (eso va definitivamente en contra de lo que significa la implicación). Si P es verdadera y Q es verdadera, entonces obviamente la implicación funciona. ¿Y si P es falso? ¿Deberías estar enfadado/alterado sea cual sea Q? No lo creo.

Convéncete de que todo debería ir bien. Y, de todos modos, la cultura matemática ha aceptado que esa definición (estipulada) (de la implicación como algo que sólo es falso cuando P es verdadero y Q es falso) es la forma más útil de definirla.

Esto es realmente una explicación de la tabla de verdad; también una explicación de que a veces las cosas se definen de esa manera para hacer las cosas más fáciles. Tomemos por ejemplo el número natural 1. ¿Es un número primo? Según la mayoría de las definiciones informales de "primo" lo es. Pero resulta que los teoremas y las pruebas de la teoría de los números son más sencillos de enunciar si se trata el 1 por separado (y se le llama "unidad").

Answer 5

Nuestro pensamiento común de implicación ( $P \implies Q$ ) es que P nos permite decir si Q es verdadera. Pero si ya sabemos que Q es verdadera, esta forma de pensar ya no tiene sentido.

Tu confusión proviene del hecho de que piensas que P tendría alguna implicación sobre Q, lo que no puede ser el caso porque Q ya está dado. No obstante, la afirmación es cierta, véase aquí .

Tomemos el ejemplo dado en otra respuesta, donde "limpiar" implica "conseguir galletas". Creo que ayuda a entender un caso especial, pero no es bueno, porque podemos asumir que "limpiar" llevaría a "obtener cookie", si "obtener cookie" fuera falso. Pero la afirmación es válida incluso para cosas que nunca llevarán a "obtener cookie". En otras palabras, si realmente se decide que "obtener galleta" es verdadero, puedes decir cualquier cosa en tu sentencia if y la afirmación sigue siendo válida:

If you crash the car, I will give you a cookie.

Lo que solemos entender de esta frase es que la galleta es la recompensa por estrellar el coche. Pero esto no tiene sentido en esta situación, por lo que normalmente nadie lo formularía así, sino que:

You can do anything, I will give you a cookie.