Cómo mostrar que$(X,d)$ está totalmente limitado

Question

Cómo mostrar que un espacio métrico$(X,d)$ está totalmente delimitado$\iff$ cada subconjunto infinito de$X$ contiene puntos distintos cuyos puntos distintos se cierran arbitrariamente entre sí.

No sé cómo probar$\Leftarrow.$ Por favor ayuda.

Por cierto, estoy buscando una pequeña pista.

Answer 1

Supongamos que$\langle X,d\rangle$ no está totalmente delimitado. Entonces hay un$\epsilon>0$ tal que para todo$F\subseteq X$%,$\{B(x,\epsilon):x\in F\}$ no cubre$X$, es decir,$X\setminus\bigcup_{x\in F}B(x,\epsilon)\ne\varnothing$. Esto implica que podemos construir recursivamente un conjunto$A=\{x_n:n\in\Bbb N\}\subseteq X$ tal que

ps

para cada $$x_{n+1}\in X\setminus\bigcup_{k\le n}B(x_k,\epsilon)$. $n\in\Bbb N$ es un subconjunto infinito de$A$; ¿contiene puntos distintos que están arbitrariamente cerca uno del otro?