¿En qué puntos es esta función diferenciable / analítica?

Question

¿En qué puntos (si hay alguno) es esta función diferenciable? ¿En qué puntos es analítico?

$f(x+iy) = x^2 + iy^2$

Apliqué las ecuaciones de Cauchy Riemann y obtuve el resultado de$y=-x$. Entonces, ¿tengo razón al decir que la función solo es diferenciable en la línea$y=-x$ y no es analítica en ninguna parte, ya que no es diferenciable en cada punto de un disco pequeño centrado en la línea?

Answer 1

Sugerencia: pregúntese: ¿satisface CR ecuación en el origen?Es $f$ diferenciable en el origen?Es $f$ analítica en el origen? Cómo se nota que es armónico de la función?Su explicación es suficiente: una función es (complejo)de la analítica en un punto sólo cuando es (complejo)diferenciable en un abierto barrio de ese punto, y puesto que su función es (complejo)diferenciable sólo en una línea, no es analítica en todo punto.sólo tiene un complejo derivado en la diagonal y = x.

Como por las implicaciones de la de Cauchy-Riemann ecuaciones: son la condición adicional necesaria para una real función derivable a ser complejo-diferenciable. Como usted ha descubierto, la de Cauchy-Riemann ecuaciones son una pointwise condición; este problema demuestra que se puede ser satisfecho en un punto sin ser satisfecho en un barrio de la punta, y en este caso la función es compleja-diferenciable en el punto, pero no de la analítica de allí.

Si conoces el punto de vista de la derivada como una transformación lineal, la de Cauchy-Riemann ecuaciones son exactamente la condición de que el derivado de una real transformación lineal de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$ debe coincidir con una compleja transformación lineal de $\mathbb{C}$ $\mathbb{C}$