¿Cómo mostrar el polinomio es irreductible en el campo de extensión de los racionales?

Question

¿Cómo podría uno mostrar esto? hay alguna prueba?

diga$x^3 - 2x - 5$ sobre$\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$

Este es solo un ejemplo inventado, pero estoy interesado en el proceso general y en cómo difiere de mostrar irreducible sobre$\mathbb{Q}$.

Answer 1

En este caso, es fácil. Supongamos que$\theta$ es una raíz de$x^3-2x-5$. Observe que$x^3-2x-5$ no tiene raíces racionales (por ejemplo, mediante la prueba de raíz racional), por lo que es irreducible sobre$\mathbb Q$. Por lo tanto,$\mathbb Q[\theta]$ tiene grado$3$. Si$\theta\in \mathbb Q[\sqrt{2}]$, entonces tendríamos$\mathbb Q[\theta]\subseteq \mathbb Q[\sqrt2]$, por lo tanto$[\mathbb Q[\theta]:\mathbb Q]|[\mathbb Q[\sqrt2]:\mathbb Q]$, es decir,$3|2$, una contradicción.