Para todos

Question

Cómo encontrar todas las funciones$f: \Bbb N→ \Bbb N$ que satisfacen$f\big(f(m) +f(n)\big)=m+n$$\space$ para todos$m,n∈\Bbb N$
($\Bbb N$ es el conjunto de todos los números naturales, es decir, enteros positivos)?

Answer 1

Reclamo: $f$ debe ser el mapa de identidad.

Prueba: Evidentemente, $f$ es inyectiva, porque $\forall m\ne m'$, $$f(f(m)+f(1))\ne f(f(m')+f(1)).$$ Para mostrar $f$ es surjective, nos vamos a denotar $E=f(\mathbb{N})$ y $$F=E+E=\{f(m)+f(n):m,n\in \mathbb{N}\}.$$ Por definición, y la asunción de $f$, $$E=f(\mathbb{N})\supset f(F)=\{n\in\mathbb{N}:n\ge 2\}.\tag{1}$$ Si $1\notin E$, luego $$F=E+E\subset\{n\in\mathbb{N}:n\ge 4\}.$$ La combinación de la ecuación anterior con la inyectividad de $f$, podemos concluir que $$\#f(\mathbb{N}\setminus F)\ge 3,$$ lo que contradice a $(1)$. Por lo tanto, $1\in E$, es decir, $f$ es surjective. De ello se desprende que $$F=\{n\in\mathbb{N}:n\ge 2\}=f(F).\tag{2}$$ De $(2)$ sabemos que $f(1)=1$, de modo que por la asunción de $f$, $$f(f(n)+1)=n+1,\quad\forall n\in\mathbb{N}.\tag{3}$$ La conclusión se deduce de $(3)$ e inducción.

Answer 2

Primero mostramos que la $f$ es una función inyectiva , de hecho

$\begin{align} f(m)=f(n) &\implies f(m)+f(n)=f(n)+f(n)\\ &\implies f(f(m)+f(n))=f(f(n)+f(n))\\ &\implies m+n=n+n \end{align}$

Por lo tanto $f(m)=f(n)$ $\implies m=n$ es decir, $f$ es inyectiva.

Deje $k$ ser un entero positivo menor que $n$, $n-k$ es un entero positivo y a partir de determinado funcional de la ecuación tendremos , $f(f(m+k)+f(n-k))=(m+k)+(n-k)=m+n=f(f(m)+f(n))$ , utilizando la inyectividad de $f$ este da , $f(m+k)+f(n-k)=f(m)+f(n)$ , para todos los $m,n,k∈\Bbb N$ con $k<n$. ....(i). supongamos que,si es posible, $f(1)=b>1$. A continuación,$b≥2$. Por otra parte tenemos a$f(2b)=f(b+b)=f(f(1)+f(1))=1+1=2$$f(b+2)=f(f(1)+f(2b))=1+2b$. Si $b=2$,luego de las dos anteriores relaciones llevar a $f(4)=2$$f(4)=1+2×2=5$ , absurdo!. Por lo tanto $b>2$ , lo $b-2$ es un entero positivo, también se $b-2<2b$ ;por lo tanto el uso de (i),obtenemos , $f(b-1)+f(b+2)=f(1+b-2)+f(2b-(b-2))=f(1)+f(2b)$. Esto, junto con la $f(1)=b,f(2b)=2$$f(b+2)=1+2b$ , el rendimiento de $f(b-1)+1+2b=b+2$ , dando $f(b-1)=1-b$ , imposible, ya que $1-b<0$ pero $f(b-1)≥1$.Llegamos a la conclusión de que $b=f(1)=1$. Ahora vamos a utilizar la inducción, si $f(m)=m$ algunos $m ∈\Bbb N$ , entonces de la ecuación dada y $f(1)=1$ , obtenemos $m+1=f(f(m)+f(1))=f(m+1)$ , por lo tanto, por el principio de inducción matemática $f(n)=n$ , para todos los $n∈\Bbb N$ .