¿El grupo de diffeomorfismo de una variedad nunca es un grupo de Lie?

Question

Deje $M$ ser un suave colector.

He oído que hay una manera de introducir una topología y una estructura de infinitas dimensiones del colector (algo así como un Banach o un Frechet colector) en $\text{diff}(M)$ lo que es un grupo cuya multiplicación (composición) tiene cierto grado de uniformidad con respecto a la estructura anterior.

Mi pregunta: ¿hay una manera de demostrar que no hay ninguna topología y suave estructura de decisiones $\text{diff}(M)$ de un número finito de dimensiones Mentira de grupo w.r.t composición?

Una estrategia posible:

Encontrar topológico de obstrucciones.

Supongo que ambas topologías que se utilizan habitualmente (débil y fuerte) no son localmente compactos, por lo tanto no puede servir de motivo para un finito dimensionales suave colector.

Pero, ¿qué acerca de otras posibles topologías?

Como señaló Matt es posible dotar a $\text{diff}(M)$ con un localmente compacto, conectado localmente y Hausdorff topología de lo que es un grupo topológico (La topología discreta).

Es posible dotarlo localmente compacto y conectado localmente Hausdorff segundo contables de la topología de lo que es un grupo topológico cuya acción sobre el $M$ es continua?

(Todas estas propiedades son necesarias para la topología de una Mentira grupo, por lo tanto, si se demuestra que esto es imposible, estamos de hecho).

Answer 1

En aras de la exhaustividad estoy escribiendo una solución basada en la propuesta de Mike Miller:

Teorema: no Hay topología $\tau$ y una compatible (finito-dimensional) liso estructura $A$ $\text{Diff(M)}$ la satisfacción de:

(1) la acción de La $\text{Diff(M)}$ $M$ es continua w.r.t $\tau$.
(2) $\text{Diff(M)}$ es una Mentira grupo w.r.t $(\tau,A)$.

Prueba:

Suponemos que por la contradicción existen un par de $(\tau,A)$.

Definir $X_n = \{(p_1,...p_n)\in M^n |p_i \neq p_j \forall i \neq j \}$, y buscar en el mapa a $\psi : \text{Diff(M)} \times X_n \rightarrow X_n$ , $\psi\left(\phi,(p_1,...p_n)\right)=(\phi(p_1),...\phi(p_n))$.

(1) es fácil ver que $X_n$ $n$- dimensiones múltiples. (Es un subconjunto de a $M^n$).
(2) la Continuidad de la acción de la $\text{Diff(M)}$ $M$ implica $\psi$ es continua.
(3) n-transitividad de la $\text{Diff(M)}$ implica la acción $\psi$ ( $\text{Diff(M)}$ $X_n$ ) es transitiva.

Ahora a arreglar algunos punto de $q=(q_1,...q_n)\in X_n$, y denotan por $G_q = \{\phi \in \text{Diff(M)} | \phi(q)=q \} $ el grupo estabilizador. Es cerrado, por lo tanto, por el subgrupo cerrado teorema $G_q$ es un integrado Mentira subgrupo de $\text{Diff(M)}$.

Así, La izquierda coset espacio de $\text{Diff(M)} / G_q$ es topológico, colector* dimensión de $dim(\text{Diff(M)})-dim(G_q)$.
(También puede ser dado a un único suave estructura haciendo el cociente mapa de $\pi: \text{Diff(M)} \rightarrow \text{Diff(M)} / G_q$ un suave inmersión, pero eso es irrelevante para nuestra discusión**).

Ahora , por la facilidad de la proposición, de modo continuo, homogéneo $G$-espacios (he.e espacios topológicos con una continua acción transitiva de un grupo topológico $G$) se deduce que $\text{Diff(M)} / G_q$ $X_n$ son homeomórficos.

En particular su dimensión topológica colectores son iguales, por lo tanto: $dim(\text{Diff(M)}) \ge dim(\text{Diff(M)})-dim(G_q) = dim(X_n)=n$ por cada $n$ lo cual es una contradicción.

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*Ver Lee el libro (Introducción a la suave colectores) Thm 21.17.

** Si asumimos que la acción de la $\text{Diff(M)}$ $M$ es suave (no meramente continua), entonces tenemos que $\text{Diff(M)} / G_q$ $X_n$ son diffeomorphic. (Ver Thm 21.18)