He intentado enlazar esto a continuación, como sugirió la TA, con una serie de taylor de una función que sé que diverge en$x=1$, como$\log(\frac{1}{1-x})$ taylor expandida alrededor de cero:
ps
Lo cual obviamente no funciona para$$-\log(1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+...$. ¿Algun consejo? También tengo curiosidad por ver algunas formas diferentes de probar esto.
De la Prueba de Condensación de Cauchy , tenemos
$$ \begin{align} \sum_{n=1}^\infty z^{2^n}&\ge \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n}\\\\ &=-\log(1-z) \tag 1 \end {align} $$
Por lo tanto, encontramos de$(1)$ que
$$ \begin{align} \lim_{z\to 1^-}\sum_{n=1}^\infty z^{2^n}&\ge -\lim_{z\to 1^-}\log(1-z)\\\\ &=\infty \end {align} $$
Y hemos terminado!
¿Qué acerca de la complejidad del caso? Definir $$f(z)=\sum_{n=0}^\infty z^{2^n}\quad(|z|<1).$$
Ha habido varios comentarios sobre lo mal que $f$ está en el límite, pero en realidad es peor que cualquiera de los comentaristas parecen darse cuenta.
En primer lugar, no existe un límite de punto de $e^{it}$ tal que $\lim_{r\to 1^-}f(re^{it})$ existe. Esto se desprende de un "tauberian teorema de" acerca de "lacunary de la serie", que muestra que si $f$ tiene una radial limitar a un determinado límite, entonces la serie converge en ese punto. Nuestra serie sin duda converge en ningún punto de la frontera, de ahí que haya una radial límite sin límite de punto. (Si encuentro una referencia para que tauberian teorema voy a insertar aquí).
Las cosas están mucho peor que eso. Por ejemplo, aunque el $f$ tiende a infinito a medida que el enfoque de diversos puntos de límite radialmente, lo hace peor que al acercarse a un límite en un punto de forma arbitraria desde el interior de la disco.
De hecho, por cada $t$ existe una secuencia $(z_n)$ $|z_n|<1$ $z_n\to e^{it}$ de manera tal que la secuencia de $f(z_n)$ es denso en el avión! Se puede decir que un poco acerca de por qué eso es así.
Para cada una de las $t\in \Bbb R$ deje $S_t$ ser el interior del casco convexo de $\{e^{it}\}\cup\{|z|<1/2\}$. La región de $S_t$ es un "Stolz ángulo", o "nontangential enfoque de la región" - hacer un dibujo para entender por qué se aproxima $e^{it}$ desde dentro de $S_t$ es conocido como "nontangential convergencia".
Decir $f$ tiene un nontangential límite en $e^{it}$ si $$\lim_{S_t\ni z\to e^{it}}f(z)$$exists. Say $f$ is nontangentially dense at $e^{}$ if $f(S_t)$ es denso en el avión.
Plessner del Teorema de Si $g$ es holomorphic en la unidad de disco, a continuación, para casi todas las $t$, $g$ tiene un nontangential límite en $e^{it}$ o $g$ es nontangentially denso en $e^{it}$.
No he encontrado una referencia en línea para que. Es en varios libros, por ejemplo Garnett Delimitada Funciones Analíticas, creo que Duren en la Teoría de $H^p$ Espacios, varios otros libros en espacios de Hardy.
Ahora nuestra función $f$ tiene una radial límite sin límite de punto, por lo tanto, un nontangential límite sin límite de punto, de modo que Plessaner dice que $f$ es nontangentially denso en casi todos los límites de punto. De ello se deduce fácilmente a partir de esto que para cada $t$ existe $z_n\to e^{it}$ tal que $f(z_n)$ es densa (tenga en cuenta que $z_n$ tiende a $e^{it}$, pero no nontangentially).
si$c_k \ge 0$ y$f(z) = \sum_{k=0}^\infty c_k z^k$ convergen para$|z|< 1$ y$\sum_{k=0}^\infty c_k $ diverge, entonces$$\lim_{ r \to 1^-} f(r) = +\infty$ $
simplemente escriba$$f_K(z) = \sum_{k=0}^K c_k z^k$ $ y luego por cada$K$ y$r \in [0,1[$:$$f(r) \ge f_K(r)$$ hence for every $ K $:
ps
demostrando que$$\lim_{ r \to 1^-} f(r) \ge \lim_{ r \to 1^-} f_K(r) = \sum_{k=0}^K c_k$ no tiene límites.
Si elegimos$z$ real positivo, y$z^{2^n}\ge 1/2$, entonces$z^{2^k}\ge 1/2$ para todos$k\le n$. Entonces, teniendo en cuenta que el primer término es$1$, nuestra suma parcial hasta$n$ es$\gt n/2$, y por lo tanto va a$\infty$ como$n\to\infty$.
Para asegurarse de que$z^{2^n}\ge 1/2$, es suficiente elegir$z\gt \exp(-\ln(2)/2^n)$. Esto es menor que$1$.
Si todo lo que quiere es mostrar que el límite no existe, eso es más o menos obvio:$\sum z^{2^n}>\sum_{n=1}^Nz^{2^n}$, por lo que el límite es mayor que$N$ para cada$N$.
Pero se puede envolvieron a continuación por ese logaritmo. Posiblemente interesante, también te dice qué tan rápido explota la función. Tenga en cuenta que$$\sum_{j=2^{n-1}+1}^{2^n}\frac{z^j}{j}\le z^{2^{n-1}}\sum_{j=2^{n-1}+1}^{2^n}\frac{1}{2^{n-1}}=z^{2^{n-1}}\quad(0<z<1).$ $
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
