Valor de

Question

Mi amigo me pregunta qué valor tiene la serie infinita$$\sum\sin\frac{1}{2^i}$ $

Obviamente es una serie de convergencia, sin embargo, no tengo idea de calcular el valor. Entonces, ¿hay un valor de eso? Gracias.

Answer 1

No es una serie muy bonita, no creo que obtendrás una expresión analítica cerrada. Sin embargo, puede calcular su valor numéricamente para cualquier precisión deseada. También puedes vincularlo desde arriba:

$$\sum_{n=0}^\infty \sin 2^{-n}<\sum_{n=0}^\infty 2^{-n}=2$ $ Esto también significa que puede calcularlo mucho más exactamente que simplemente sumar los primeros términos: puede aproximar el resto con una suma geométrica.

Ejemplo:

$$\sum_{n=0}^\infty \sin 2^{-n}<\sin 1+\sin \frac12 + \sum_{n=2}^\infty 2^{-n}\approx$ $$$0.841471+0.479426+\frac{1}{2}=1.8209$ $ El valor exacto para 5 decimales (Wolfram Alpha) es$1.81793...$.

Answer 2

Como$$\sin x = \sum_{j=0}^{+\infty}\frac{(-1)^j}{(2j+1)!}x^{2j+1}$ $ tenemos eso:$$\sum_{i\geq 0}\sin\frac{1}{2^i}=\sum_{i\geq 0}\sum_{j\geq 0}\frac{(-1)^j}{(2j+1)!}\cdot\frac{1}{2^{i(2j+1)}}=\sum_{j\geq 0}\frac{(-1)^j}{(2j+1)!(1-2^{-(2j+1)})}=1.81792872\ldots$ $ donde la última serie converge muy rápido. Sin embargo, no apostaría a las formas cerradas "más bonitas".

Answer 3

Una posible forma de hacerlo es empezar con la expansión de la $\sin(x)$ para valores pequeños de a $x$ $$\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}+\frac{x^9}{362880}-\frac{x^{11}}{399 16800}+O\left(x^{13}\right)$$ and replace $x$ by $\frac{1}{2^i}$. So, $$\sin(\frac{1}{2^i})=2^{-i}-\frac{2^{-3 i-1}}{3} +\frac{2^{-5 i-3}}{15} -\frac{2^{-7 i-4}}{315} +\frac{2^{-9 i-7}}{2835}-\frac{2^{-11 i-8}}{155925}+\cdots$$ and now the summation corresponds to the sum of geometric series. Limiting to the above terms, we arrive to $$\sum_{i=0}^{\infty}\sin\frac{1}{2^i}=\frac{1167338371295774}{642125490254325}\approx 1.817928721$$

Si utilizamos $n$ términos para la expansión de Taylor, podemos encontrar $$S_1=2$$ $$S_2=\frac{38}{21}\approx 1.809523810$$ $$S_3=\frac{5918}{3255}\approx 1.818125960$$ $$S_4=\frac{450902}{248031}\approx 1.817925985$$ $$S_5=\frac{10368507238}{5703472845}\approx 1.817928746$$ $$S_6=\frac{1167338371295774}{642125490254325}\approx 1.817928721$$ $$S_7=\frac{372905075405009059958}{205126345736253866925}\approx 1.817928721$$