¿Por qué las cúbicas son separables en campos que no son de la característica$2$ o$3$?
Este es el punto de partida para algunos sobre el grupo cúbico de Galois, pero parece que estoy atrapado desde el principio.
Respuestas
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Un polinomio tiene múltiples raíces, si y sólo si a no es primo relativo a su formal de la derivada.
Supongamos que $f(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ es un polinomio irreducible de grado $n\gt 0$ sobre un campo $\mathbf{F}$. A continuación,$f'(x) = nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_1$. Debido a $f(x)$ no tiene ningún factores en $\mathbf{F}[x]$, entonces la única manera posible de factores comunes de $f(x)$$f'(x)$, hasta unidades, $1$$f(x)$. Pero si $f'(x)\neq 0$, entonces es de grado estrictamente menor que $f(x)$, por lo que no puede ser divisible por $f(x)$. Así que cualquiera de las $f'(x)=0$ o más $\gcd(f,f')=1$. Pero la única manera en que podemos tener el $f'(x)=0$ si $n=0$$\mathbf{F}$; es decir, la característica de $\mathbf{F}$ divide $n$. (De hecho, más es cierto: $f(x)$ debe ser expresssible como $g(x^p)$ donde $g(x)$ es un polinomio y $p$ es la característica de la $\mathbf{F}$, pero que no es necesario aquí).
Ahora, un polinomio es separable si y sólo si su irreductible factores son separables. Tomar un polinomio cúbico $f(x) = x^3 + ax^2+bx+c$.
Si $f(x)$ es irreducible, entonces la única manera que puede no ser separables es si $\mathrm{char}(\mathbf{F})|3$, es decir, si la característica de $\mathbf{F}$$3$.
Si $f(x)$ es el producto de una irreductible cuadrática y lineal de polinomios, $f(x) = \ell(x)q(x)$, $\ell(x)$ es, sin duda separables, por lo que la única manera para $f(x)$ a no ser separables es para $q(x)$ a no ser separables, esto es un monic polinomio de grado $2$, por lo que para $q(x)$ a no ser separables necesitamos $\mathrm{char}(\mathbf{F})$ brecha $2$; es decir, $\mathbf{F}$ a ser de carácter $2$.
Si $f(x)$ es un producto de tres lineal de polinomios (posiblemente repetidos), a continuación, $f(x)$ es separable, ya que cada factor irreducible es lineal y, por tanto, separable.
Así, una necesaria condición para que un polinomio cúbico a no ser separables es por la característica de que el campo de la definición de ser $2$ o $3$. En consecuencia, si $f(x)$ es un cúbicos sobre un campo de característica no es igual a $2$ o a $3$, entonces debe ser separable.
user3035
Puntos
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Usted puede realmente hacerlo "a mano". Nuestro objetivo es mostrar que un monic polinomio irreducible $f(x)$ grado $2$ o $3$ $F$ se divide en distintas lineal de los factores de una expresión algebraica cierre de $E$, mientras que las características de las $F$ no $2$ o $3$. Supongamos que el irreductible $f(x)$ no se dividen en factores lineales en $E$; vamos a obtener una contradicción.
En primer lugar, si el polinomio es de la forma$(x - a)^3 = x^3 - 3ax^2 + 3a^2x + a^3$, $x^2$ coeficiente de $-3a$ debe ser en $F$. Por lo $a$ $F$ demasiado, con ese $F$ no es de carácter $3$.
El otro caso es que el polinomio es de la forma $(x - a)^2(x - b)$. Para ello podemos utilizar el hecho de que para cualquier polinomio $p(x)$, ${p'(x) \over p(x)} = \sum {1 \over x - r}$, donde la suma se toma sobre las raíces de $p(x)$. Aplicando esto a $f(x)$ da ${f'(x) \over f(x)} = {2 \over (x - a)} + {1 \over x - b}$. Tenga en cuenta que $f(x) = x^3 - (b + 2a)x^2 + ...$, por lo que el $b + 2a \in F$. Por lo tanto ${b + 2a \over 3} \in F$. Sustituyendo este valor de $x$ a ${f'(x) \over f(x)}$ da a da ${9 \over 2(b - a)}$, el cual debe ser en $F$. Por lo tanto $b - a\in F$; tenga en cuenta que el uso de la característica no es $2$ o $3$ aquí. Por lo $b = {2 \over 3}(b - a) + {1 \over 3}(b + 2a)$ $F$ como bueno, de nuevo, contradiciendo la irreductibilidad de $f(x)$.
