dejar $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\ $ $f(\frac{1}{n})=\frac{1}{n} \forall n \in\mathbb {N}$. entonces busca $f(0),f^{k}(0)\ \forall\ k\in \mathbb{N} $.

Question

permita que$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\ $ sea infinitamente diferenciable. tal que$f(\frac{1}{n})=\frac{1}{n} \forall n \in\mathbb\ {N}$. entonces busca $f(0),f^{k}(0)\ \forall\ k\in \mathbb{N} $.

es fácil de ver debido a la continuidad de$f$,$f(0)=0$. Ahora aplique la fórmula de Taylor para$f$ en$[0,x]$. Obtenemos$f(x)=xf'(0)+\frac{x^2}{2}f''(t)$ para algunos$t$% en$(0,x)$. Ya que$f'' $ está limitado en$[0,x ]$ y poniendo$x=\frac{1}{n}$ en la expresión anterior y tomando el límite como$n\to \infty$. Obtengo$f'(0)=1$. Similiarmente tomando otro gasto de taylor de mayor orden obtengo$f^{n}(0)=0$.

¿Esta explicación es correcta? Por favor ayúdenme. ¿Hay algún método mejor para hacer esto?

Answer 1

He aquí una forma que utiliza la misma idea, pero es un poco más claro: vamos a $h(x) = f(x) - x$. A continuación, $h$ es infinitamente diferenciable. Supongamos que hay un mínimo de $n \in \Bbb{N}$ tal que $h^{(n)}(0) \neq 0$. Para $a$ en algún intervalo abierto $I$ contiene $0$, entonces podemos escribir $h(a) = h^{(n)}(0)a^n + O(|a|^{n+1})$. Esto es claramente imposible, puesto que implicaría que $h(1/m) \neq 0$ $m \in \Bbb{N}$ suficientemente grande: como $a_m = 1/m$ es muy pequeña, el $h^{(n)}(0)a_m^n$ plazo (que es distinto de cero, por supuesto) domina el término de error, por lo que no pueden cancelar el uno al otro. Por lo tanto, tenemos una contradicción y todos los derivados de $h$ desaparecen en cero, de modo que por la linealidad de la diferenciación todas pero la primera derivada de la $f$ desaparecer de allí.