Aquí hay un tipo de espacio que llama Katětov extensión del número natural de esta observación:
Tengo dos preguntas en este espacio:
1 ¿Es ese espacio separable?
2 ¿Es ese espacio contable primero?
Muchas gracias.
Aquí hay un tipo de espacio que llama Katětov extensión del número natural de esta observación:
Tengo dos preguntas en este espacio:
1 ¿Es ese espacio separable?
2 ¿Es ese espacio contable primero?
Muchas gracias.
Seirios ya ha dado una excelente respuesta completa. He aquí una más de las manos-en respuesta a la segunda pregunta. El Katětov extensión de N es
κN=N∪{p⊆℘(N):p is a free ultrafilter on N},
donde una base local enp∈κN∖NBp={{p}∪U:U∈p}; no es la primera contables en cualquier punto de κN∖N.
Fix p∈κN∖N. Supongamos que {Un:n∈N}⊆Bp. De forma recursiva elija mk,nk∈Nk∈N, de modo que mk≠nk y
mk,nk∈Uk∖({mi:i<k}∪{ni:i<k})
para cada una de las k∈N. Deje M={mk:k∈N}, y deje N=N∖M. A continuación, para cada una de las k∈N tenemos nk∈Uk∖Mmk∈Uk∖N, lo Uk⊈ U_k\nsubseteq N todos los k\in\Bbb N. Pero p es un ultrafilter, así que o M\in p o N\in p; sin pérdida de generalidad M\in p, e \{p\}\cup M es entonces un abrir nbhd de p que no contiene ninguno de los conjuntos de U_kk\in\Bbb N. Por lo tanto, \{U_k:k\in\Bbb N\} no es una base de a p, e \kappa\Bbb N no es la primera contables en p.
Por supuesto,\mathbb{N} es denso en\kappa \mathbb{N}, por lo que\kappa \mathbb{N} es separable. Además, cualquier primer espacio contable separable tiene cardinalidad como máximo2^{\omega} (cualquier punto es el límite de una secuencia del subespacio denso contable), mientras que|\kappa \mathbb{N}|=2^{2^{\omega}}.
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