Es ese espacio separable?

Question

Aquí hay un tipo de espacio que llama Katětov extensión del número natural de esta observación:

Tengo dos preguntas en este espacio:

1 ¿Es ese espacio separable?

2 ¿Es ese espacio contable primero?

Muchas gracias.

Answer 1

Seirios ya ha dado una excelente respuesta completa. He aquí una más de las manos-en respuesta a la segunda pregunta. El Katětov extensión de $\Bbb N$ es

$$\kappa\Bbb N=\Bbb N\cup\{p\subseteq\wp(\Bbb N):p\text{ is a free ultrafilter on }\Bbb N\}\;,$$

donde una base local en$p\in\kappa\Bbb N\setminus\Bbb N$$\mathscr{B}_p=\big\{\{p\}\cup U:U\in p\big\}$; no es la primera contables en cualquier punto de $\kappa\Bbb N\setminus\Bbb N$.

Fix $p\in\kappa\Bbb N\setminus\Bbb N$. Supongamos que $\{U_n:n\in\Bbb N\}\subseteq\mathscr{B}_p$. De forma recursiva elija $m_k,n_k\in\Bbb N$$k\in\Bbb N$, de modo que $m_k\ne n_k$ y

$$m_k,n_k\in U_k\setminus\big(\{m_i:i<k\}\cup\{n_i:i<k\}\big)$$

para cada una de las $k\in\Bbb N$. Deje $M=\{m_k:k\in\Bbb N\}$, y deje $N=\Bbb N\setminus M$. A continuación, para cada una de las $k\in\Bbb N$ tenemos $n_k\in U_k\setminus M$$m_k\in U_k\setminus N$, lo $U_k\nsubseteq M$ $U_k\nsubseteq N$ todos los $k\in\Bbb N$. Pero $p$ es un ultrafilter, así que o $M\in p$ o $N\in p$; sin pérdida de generalidad $M\in p$, e $\{p\}\cup M$ es entonces un abrir nbhd de $p$ que no contiene ninguno de los conjuntos de $U_k$$k\in\Bbb N$. Por lo tanto, $\{U_k:k\in\Bbb N\}$ no es una base de a $p$, e $\kappa\Bbb N$ no es la primera contables en $p$.

Answer 2

Por supuesto,$\mathbb{N}$ es denso en$\kappa \mathbb{N}$, por lo que$\kappa \mathbb{N}$ es separable. Además, cualquier primer espacio contable separable tiene cardinalidad como máximo$2^{\omega}$ (cualquier punto es el límite de una secuencia del subespacio denso contable), mientras que$|\kappa \mathbb{N}|=2^{2^{\omega}}$.