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4 votos

Es ese espacio separable?

Aquí hay un tipo de espacio que llama Katětov extensión del número natural de esta observación: enter image description here

Tengo dos preguntas en este espacio:

1 ¿Es ese espacio separable?

2 ¿Es ese espacio contable primero?

Muchas gracias.

5voto

DiGi Puntos 1925

Seirios ya ha dado una excelente respuesta completa. He aquí una más de las manos-en respuesta a la segunda pregunta. El Katětov extensión de N es

κN=N{p(N):p is a free ultrafilter on N},

donde una base local enpκNNBp={{p}U:Up}; no es la primera contables en cualquier punto de κNN.

Fix pκNN. Supongamos que {Un:nN}Bp. De forma recursiva elija mk,nkNkN, de modo que mknk y

mk,nkUk({mi:i<k}{ni:i<k})

para cada una de las kN. Deje M={mk:kN}, y deje N=NM. A continuación, para cada una de las kN tenemos nkUkMmkUkN, lo Uk U_k\nsubseteq N todos los k\in\Bbb N. Pero p es un ultrafilter, así que o M\in p o N\in p; sin pérdida de generalidad M\in p, e \{p\}\cup M es entonces un abrir nbhd de p que no contiene ninguno de los conjuntos de U_kk\in\Bbb N. Por lo tanto, \{U_k:k\in\Bbb N\} no es una base de a p, e \kappa\Bbb N no es la primera contables en p.

2voto

Seirios Puntos 19895

Por supuesto,\mathbb{N} es denso en\kappa \mathbb{N}, por lo que\kappa \mathbb{N} es separable. Además, cualquier primer espacio contable separable tiene cardinalidad como máximo2^{\omega} (cualquier punto es el límite de una secuencia del subespacio denso contable), mientras que|\kappa \mathbb{N}|=2^{2^{\omega}}.

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