¿Efectivo no implica nef?

Question

La cuestión es realmente sencilla, es sólo terminología.

Para simplificar, trabajamos en superficies algebraicas lisas y consideramos la forma de intersección en las curvas de la superficie.

Así que dejemos $S$ sea una superficie y $D \in \operatorname{Pic}(S)$ un divisor. Entonces $D$ se dice que es nef si $$ D.C \geq 0 $$ para todas las curvas $C$ en $S$ (¿no fue Miles Reid quien introdujo este término?).

Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Nef_line_bundle .

Mi pregunta es ahora que con esta definición, ¡una curva efectiva no tiene por qué ser nef! Esto ocurre exactamente cuando tiene auto-intersección negativa, como es muy posible. Pero, ¿no es nef una curva numéricamente efectiva? Eso sugiere que es más débil que efectiva..

Por favor, ilumíneme, supongo que una respuesta de una sola línea será suficiente. Gracias.

Answer 1

Sí, esto es confuso. Permítame intentar aclararlo.

El término "nef" fue efectivamente acuñado por Reid. Pero fue no se supone que es una abreviatura de "numéricamente eficaz". Más bien se trataba de un acrónimo que significaba "numéricamente libre". (Por eso, a veces, en las referencias más antiguas, puede verse escrito como "NEF").

La idea es que si $D$ es un divisor efectivo de Cartier con la propiedad de que, para un número natural suficientemente grande $m$ el sistema lineal $|mD|$ no tiene puntos base, entonces debe ser el caso que $D \cdot C \geq 0$ para todas las curvas $C$ . Así que la condición nef se supone que encapsula el comportamiento numérico de los divisores "eventualmente libres".

Por desgracia, esto no hace que las cosas sean menos confusas, porque un divisor nef ciertamente no tiene que ser eventualmente libre (o numéricamente equivalente a un divisor eventualmente libre).

Hay una cita debida a Kollár en alguna parte, que dice que nef significa nef y nada más --- en otras palabras, uno debería olvidar de dónde vino la palabra, y sólo aprender la definición. A mí me parece una idea sensata.

Answer 2

Todo lo que has escrito es correcto; la terminología es un poco confuso al principio, porque, como has dicho, no todos los divisores efectivos son numéricamente efectivos.