Mostrar que$\lfloor(1+\sqrt{3})^{2n-1}\rfloor$ es divisible por$2^n$

Question

Muestre que$\lfloor(1+\sqrt{3})^{2n-1}\rfloor$ es divisible por$2^n$ donde$n$ es un entero positivo.

Tenemos \begin{align*}\lfloor(1+\sqrt{3})^{2n-1}\rfloor &= (\sqrt{3}+1)^{2n-1}-(\sqrt{3}-1)^{2n-1}\\&=\dfrac{(4+2\sqrt{3})^n}{1+\sqrt{3}}+\dfrac{(4-2\sqrt{3})^n}{1-\sqrt{3}}\\&=2^n\left(\dfrac{(2+\sqrt{3})^n}{1+\sqrt{3}}+\dfrac{(2-\sqrt{3})^n}{1-\sqrt{3}}\right).\end {align *} Por lo tanto, debemos mostrar que el segundo término es un número entero. ¿Cómo podemos continuar?

Answer 1

Establecer$x_n=\frac{(2+\sqrt{3})^n}{1+\sqrt{3}}+\frac{(2-\sqrt{3})^n}{1-\sqrt{3}}$. Muestre que$x_1, x_2$ son enteros y$x_{n+2}=4x_{n+1}-x_{n}$, por lo tanto, por inducción$x_n$ es un número entero para todos$n \in \mathbb{N}$.

Answer 2

Sugerencia:$1 \pm \sqrt{3}$ son las raíces de$t^2-2t-2=0\,$, por lo que$\;a_{n} = (1+\sqrt{3})^{n}+(1-\sqrt{3})^{n}$ es la solución a la recurrencia$a_{n+2}=2a_{n+1}+2a_{n}\,$ con$a_0 = a_1 = 2$.

Answer 3

$$(\sqrt{3}+1)^{2n-1}-(\sqrt{3}-1)^{2n-1}$ $ Take n = 2$$(\sqrt{3}+1)^{3}-(\sqrt{3}-1)^{3}$ $ Mira, expansión binomial de los poderes Primer término,$$ 3\sqrt(3) + 3*3 + 3\sqrt(3) + 1 $ $ Minus segundo término,$$ 3\sqrt(3) - 3*3 + 3\sqrt(3) - 1 $ $ Da$$ 2*3*3 + 2 $ $ Entonces obtienes solo cada segundo término. Generalice a los poderes superiores y obtenga una fórmula general. Ver que se divide entre$2^n$