¿Dos variables al azar tengan la misma distribución, sin embargo ser casi con toda seguridad diferente?

Question

¿Es posible que dos variables al azar tienen la misma distribución y sin embargo son casi seguramente diferentes?

Answer 1

Que $X\sim N(0,1)$ y $Y=-X$ de definir. Es fácil demostrar que $Y\sim N(0,1)$.

Pero $ P\ {\omega: X (\omega) = Y (\omega) \} = P\ {\omega: X (\omega) = 0, Y (\omega) = 0\} \leq P\ {\omega: X (\omega) = 0\} = 0 \,. $$

Por lo tanto, $X$ y $Y$ son diferentes con probabilidad uno.

Answer 2

Cualquier par de variables al azar independientes $X$ y $Y$ tener la misma distribución continua proveen un contraejemplo.

De hecho, dos variables al azar tienen la misma distribución incluso necesariamente no se definen en el mismo espacio de probabilidad, por lo tanto, la pregunta no tiene sentido en general.