Una pregunta sobre secuencias y subsecuencias

Question

Dar ejemplo de secuencias y Subsecuencias que satisfacen los siguientes

1. $\{x_n\}$ no se incrementa , sino $\{x_n\}$ que cada vez tiene más larga.

2. $\{x_n\}$ es ilimitado , sino $\{x_n\}$ tiene una limitada larga.

3. Una secuencia de enteros $\{x_n\}$ cual diversos , pero que tiene una infinidad de distintos subsequnetial límites

para (1) $x_n=\begin{cases} n& n=2k\\\frac1n &n=2k+1\end{cases}$ esto no se aumenta cada vez tiene más larga

(2) considerar la $x_n = n$ si $n$ es incluso y $x_n=0$ si $n$ es impar aquí $\{x_n\}$ es ilimitado, sino $\{x_n\}$ tiene larga

es que yo estoy en lo correcto para (1) y (2) si yo soy por favor, puede dar ejemplo de (3)

Answer 1

Cada uno de sus ejemplos de trabajo para ambos (1) y (2). Es ingenioso. (3), mira la secuencia de

$$\{1,\;1,2,\;1,2,3,\;1,2,3,4,\;1,2,3,4,5,\;1,2,3,4,5,6\;,\dotsc\}$$

Answer 2

Una manera divertida de hacer (3) es el uso de números primos. (De hecho funciona para (1) y (2)). Considerar la secuencia de $(a_n)$ definido por $$a_n = \cases{p,\quad n = p^k\ \text{for some $p$ prime and $k\in\mathbb{N}_{\geq 1}$}\\0,\quad \text{otherwise}}$$ A continuación, $(a_n) = \{0,2,3,2,5,0,7,2,3,0,11,0,13,0,0,2,17,0,19,0,0,0,23,0,5,...\}$

La secuencia ha subsecuencias que convergen para todos los primos, y sabemos que hay un número infinito de números primos.

Anexo

Podría parecer excesivo, como es mucho más complicado que tiene que ser, pero tiene la ventaja de subsecuencias de ser muy fácil de describir. por ejemplo,

$(a_p)_{p\ \text{prime}} = \{2,3,5,7,11,13,...\}$ es un aumento de la larga

$(a_{2k})_{k\in\mathbb{N}} = \{2,2,0,2,0,0,0,2,0,...\}$ es un almacén de larga

para cada una de las $p$ prime, $(a_{p^k})_{k\in\mathbb{N}} = \{p,p,p,...\}$ es convergente (constante) subsequence