Yo no era capaz de hacer el siguiente ejercicio de Manfredo de la Geometría de Riemann:
El capítulo 3, Ejercicio 5 Deje $M$ ser una de Riemann colector y $X\in \mathfrak{X}(M)$. Deje $p\in M$ y deje $U\subset M$ ser un barrio de $p$. Deje $\varphi:(-\varepsilon,\varepsilon)\times U\to M$ ser un diferenciable de asignación tal que para cualquier $q\in U$ la curva de $t\mapsto \varphi(t,q)$ es una trayectoria de $X$ pasando a través de $q$ a $t=0$ ($U$ y $\varphi$ son dados por el teorema fundamental de ecuaciones diferenciales ordinarias, Cf. Teorema 2.2). $X$ se llama a un campo de muerte (o un infinitesimal isometría) si, para cada una de las $t_0\in (-\varepsilon,\varepsilon)$, la asignación de $\varphi(t_0,\,):U\to M$ es una isometría. Probar que:
(a) (...)
(d) $X$ es un campo de muerte $\iff \langle \nabla_YX,Z\rangle+\langle \nabla_ZX,Y\rangle=0$, para todos los $Y,Z\in \mathfrak{X}(M)$ (la ecuación anterior se llama la Matanza de la ecuación).
A continuación, Manfredo da una pista para demostrar la $(\Rightarrow)$ y por lo tanto supongo que $(\Leftarrow)$ debe ser "fácil". Sin embargo, yo no podía demostrarlo. En $(\Leftarrow)$, quiero mostrar que $$\langle d(\varphi_{t_0})_q\cdot u,d(\varphi_{t_0})_q\cdot v\rangle=\langle u,v\rangle,$$ para todos $t_0\in (-\varepsilon,\varepsilon)$, $q\in U$ y $u,v\in T_qM$. Pero yo no estoy siendo capaz de relacionar esto con el Asesinato de la ecuación. Sé que $\frac{d}{dt}\varphi(t,q)=X(\varphi(t,q))$ pero $d(\varphi_t)_q$ no es exactamente $\frac{d}{dt}\varphi(t,q)$...
