¿Es el Groupoid Fundamental un Bicategory?

Question

Actualmente estoy aprendiendo acerca de grupo fundamental y entiendo que no es realmente fundamental groupoid. Dado un espacio topológico $X$, es una categoría con

• puntos en $X$ como objetos
• rutas entre puntos como flechas
• homotopies entre caminos como 2-morfismos

Usted podría continuar definiendo n-morfismos como homotopies entre n-1 morfismos y esto le daría algo que se llama una infinidad de categoría. Mi pregunta es la siguiente: Si usted fuera a parar en 2-morfismos que esto sería dar un bicategory como he sugerido anteriormente? Mi preocupación es la siguiente: por lo general en bicategories tiene muchos tipos de 2-morfismos no todos ellos isomorphisms. Sin embargo, en lo fundamental groupoid, usted parece decir que los dos caminos son isomorfos si existe alguna homotopy entre ellos en todo. Me parece que hay mucho de que faltan 2 - morfismos aquí.

Answer 1

No es un bicategory, pero esto no tiene que ver con $2$-las células que se isomorphisms. (Realmente, equivalencias y, de hecho, el $1$-las células también son equivalencias.) La razón por la que deja de ser un bicategory es que la composición de $2$-las células no es estrictamente asociativa o unital: de hecho, esto es exactamente el mismo problema que significa que los puntos y rutas de acceso no define una categoría.

Suena como lo que usted está tratando de describir es la fundamental ∞-groupoid $\pi(X)$ $X$ , que tiene la estructura de un ∞-categoría (de hecho, un (∞,0)-categoría), en lugar de un bicategory. El$n$ -, las células son el "$n$-dimensiones de rutas" en la $X$, y la composición de los axiomas de mantener sólo hasta equivalencia.

La fundamental groupoid $\pi_1(X)$ es el $1$-truncamiento de $\pi(X)$, que los cocientes de la $1$-células (es decir, caminos) por el aumento de la equivalencia. La estructura resultante es una groupoid, que es a su vez una categoría.

La estructura que (casi) describir es el $2$-truncamiento de $\pi(X)$, lo cual es una bicategory (de hecho, es una $2$-groupoid), excepto los de la $2$-las células son clases de equivalencia de homotopies, en lugar de homotopies sí mismos. Esto asegura que las normas que rigen la composición de $2$-las células tienen estrictamente.

De manera más general, el $n$-truncamiento $\pi_n(X)$ $\pi(X)$ puntos 0-células, las rutas de acceso como $1$-células, homotopies como $2$-células, homotopies de homotopies como de 3 células, y así sucesivamente. Cuando llegue a el nivel de $n$-células, cociente por mayor homotopy para asegurar que la composición de las leyes para $n$-las células son estrictamente; los obtenidos estructura es un $n$-groupoid, un tipo de débiles $n$-categoría, lo que eso significa.

Answer 2

La otra respuesta que habla acerca de los fundamentales de la $2$-groupoid. Voy a hablar de la otra corrección posible para su construcción: no distinguir entre el paralelo $2$-flechas.

En lugar de tener el $2$-morfismos ser homotopies entre homotopies, sólo puede tener $2$-morfismos de dar el "es homotópica a la" relación. Es decir, dado rutas de $f$ y $g$, $\hom(f,g)$ es un punto de establecer si $f \simeq g$, y está vacía de otra manera.

La obvia functor de esta construcción fundamentales para la groupoid es una equivalencia, ya que para los puntos de $P$$Q$, la categoría de $\hom(P,Q)$ es equivalente al conjunto de homotopy clases de caminos de$P$$Q$.