Puede ' t recuerdo una prueba falaz que involucran integrales e identidades trigonométricas.

Question

Mi calc una vez que el profesor nos enseñó una falacia de la prueba. Estoy esperando que alguien aquí me puede ayudar a recordar.

Aquí es lo que yo sé acerca de ella:

• El resultado final fue un poco de variación de 0=1 y 1=2.
• Se trataba de (indefinido?) las integrales.
• Era lo suficientemente simple como para Calc II de los estudiantes a comprender.
• El (primaria?) falacia fue que las constantes arbitrarias (a+ C) se han omitido después de la integración.

No estoy seguro, pero tengo un fuerte presentimiento de que se refería a un trigonométricas básicas de identidad.

Answer 1

Es probablemente el clásico $$\int \sin 2x \;dx = \int 2\sin x\cos x \;dx$$

• Haciendo un $u=\sin x$ de sustitución "da" $$\int 2u \;du = u^2 = \sin^2 x$$

• Como alternativa, el uso de $v = \cos x$ "" $$\int -2v \;dv = -v^2 = -\cos^2 x$ $

Dado que las soluciones deben ser iguales, tenemos $$\sin^2 x = -\cos^2 x \quad\to\quad \sin^2 x + \cos^2 x = 0 \quad\to\quad 1 = 0$$

Como nota, la falacia aquí es la no inclusión de "+ constante" lo indefinido de las integrales.

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Tenga en cuenta que hay también la sustitución de $w = 2x$, lo que "da" $$\begin{align} \int \frac12 \; \sin w \; dw = -\frac12 \; \cos w = -\frac12\;\cos 2x &= -\frac12\;(2 \cos^2 x - 1 ) = -\cos^2 x + \frac12 \\[6pt] &= -\frac12\;(1 - 2 \sin^2 x) = \phantom{-}\sin^2 x - \frac12 \end{align}$$ que conduce a la misma especie de aparente contradicción, cuando en comparación con las otras integrales.

Answer 2

Aquí es mi favorito: integración por partes con $u=1/x$ y $v=x$, obtenemos $$ \int\frac{dx}{x}=\frac1xx-\int x\Bigl(\frac{-1}{x^2}\Bigr) \,dx = 1 + \int\frac {dx} {x} $ y "por tanto" $0=1$.

Es cierto que hay no hay trigonometría y probablemente no es que estabas buscando, pero todavía...

Answer 3

Aquí está uno que se ajuste a su descripción, pero hay muchas posibilidades. Integramos la $4\sin x\cos x$ de dos maneras, incorrectamente omitiendo la constante de integración.

Forma 1: Que $u=\cos x$. Entonces nuestra integral es $-2u^2$, es decir, $-2\cos^2 x$.

Forma 2: Tenemos $4\sin x\cos x=2\sin 2x$. Integrar. Tenemos $-\cos 2x$. $\cos 2x=2\cos^2 x-1$, Por lo que la integral es $-2\cos^2 x+1$.

"Así" $0=1$.

Answer 4

El más simple que tengo no es realmente 0 = 1 pero $\pi=0$. Este es uno de mis favoritos, el más cortos y ha confundido a mucha gente.

$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = sin^{-1}x$

Pero también sabemos que $\int - \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = cos^{-1}x$

Por lo tanto, $sin^{-1}x=-cos^{-1}x$

Pero también, $sin^{-1}x+cos^{-1}x=\pi/2$

$\implies \pi/2=0$ $\implies \pi=0$.

Estoy tan mal. :)