Función $f:[0,1]\rightarrow \Bbb R$ sabemos: $f(x+y)\geq f(x)+f(y)$. Demostrar que $f(x)\leq 2x$

Question

Función $f:[0,1]\rightarrow \Bbb R$ lleva a cabo en las siguientes condiciones:
1) $f(1)=1$
2) $\forall x \in [0,1]: f(x)\geq 0$
3) $\forall x,y,x+y \in [0,1]: f(x+y)\geq f(x)+f(y)$.
Demostrar que $\forall x \in [0,1] : f(x)\leq 2x$

He probado los valores $0,\frac12$ en la fórmula dada y obtuvo los siguientes resultados:
$$f(0)=0 , f(\frac12)\leq \frac12,f(x)\leq \frac{f(2x)}{2}$$
Por favor, ayudar a completar la prueba.

Answer 1

Caso 1: $x ≥ 1/2$.

Deje $x \in [0,1]$, y establecer $y = 1 - x$. A continuación,$1 = f(x+y)≥ f(x)+f(y) ≥ f(x)$. Esto nos dice que $f$ está acotada arriba por $1$. Por lo tanto, para mostrar que $f(x) ≤ 2x$ todos los $x \in [0,1]$, ahora es suficiente para mostrar que se tiene para $x < 1/2$. (Si $x ≥ 1/2$,$f(x) ≤ 1 ≤ 2x$, por lo que hemos hecho.)

Caso 2: $1/4 ≤ x < 1/2$.

También tenemos, como has descubierto, $$f(1/2) = \frac{f(1/2)+f(1/2)}{2} \leq \frac{f(1)}{2} = \frac{1}{2}$$ Deje $x \in [0,1/2)$. Deje $y = 1/2-x$. A continuación,$1/2 ≥ f(x+y) ≥ f(x) + f(y) ≥ f(x)$. Así que ahora, por el mismo argumento, como el caso 1, tenemos $f(x) ≤ 2x$$x ≥ 1/4$.

Caso 3: $1/8 ≤ x < 1/4$. $$f(1/4) = \frac{f(1/4)+f(1/4)}{2} \leq \frac{f(1/2)}{2} ≤ \frac{1}{4}$$

Se puede ver el patrón? Dado cualquier $x \in (0,1]$, un "finito descenso" nos dice que $f(x) ≤ 2x$. Como para $x = 0$, podemos ver que $0≤ f(0) ≤ f(1+0) - f(1) = 1-1 = 0$.

Por lo tanto hemos terminado!

Answer 2

Por inducción, (3) generaliza fácilmente a

$$ \forall x_1,x_2,\ldots x_n, x_1+x_2+\ldots+x_n\in [0,1], f\bigg(\sum_{k=1}^n x_k \bigg) \geq \sum_{k=1}^n f(x_k) \etiqueta{4} $$

Poner a $x_1=x_2=\ldots=x_n=\frac{1}{n}$ (4) y utilizando (1), se deduce :

$$ f(\frac{1}{n}) \leq \frac{1}{n} \etiqueta{5} $$

Ahora, vamos a $x\in [0,1]$$x\neq 0$. Hay un número entero $k$ tal que $\frac{1}{2^{k+1}} \lt x \leq \frac{1}{2^k}$. Usando (3) con $y=\frac{1}{2^k}-x$, podemos deducir $f(x)\leq f(\frac{1}{2^k})$. Pero $f(\frac{1}{2^k}) \leq \frac{1}{2^k}$ por (5), y, por tanto, $f(x) \leq \frac{1}{2^k} \leq 2x$ como se quiera.

Todo lo que queda es el caso de la $x=0$. Pero esto es fácil : tomar $x_1=x_2=\ldots=x_n=0$ (4) y utilizando (1), tenemos $f(0) \leq \frac{1}{n}$ todos los $n$, de donde $f(0)\leq 0$ por pasing el límite, dónde $f(0)=0$ (2).

Answer 3

$f(0)=0$ % que $f(0)\le2\times0$

$f(1)=1$ % que $f(1)\le2\times1$

Tomar $x=y=\frac{1}{2}$, obtenemos

$f(\frac{1}{2}) \le \frac{1}{2}f(1) = \frac{1}{2}$

Tomar $x=y=1/4$, obtenemos

$f(\frac{1}{4}) \le \frac{1}{2}f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$

Así, $f(\frac{1}{2^n}) \le \frac{1}{2^n}$

También, es $f$ nondecreasing y su rango es $[0,1]$.

Así, por $[0,1]$, $f(x)\le 2x$