¿Es coherente la siguiente teoría?

Question

Supongamos que tenemos una teoría lógica de primer orden sobre una firma {=, $\times$ } (donde $\times$ es un símbolo de función binaria, y = es el símbolo de igualdad), que contiene los siguientes axiomas: $$\forall x \forall y ( x \times (y \times y) = (x \times y) \times y)$$ $$\exists o \forall x (x \times o = o)$$ $$\exists e \forall x (x \times e = x)$$ $$\forall x \forall y \exists z (x \times z = y)$$ $$\exists x \exists y (\neg(x = y))$$ ¿Esta teoría es coherente?

Es bastante fácil demostrar que si lo es, entonces cada uno de sus modelos tiene que ser infinito. Además, es bastante obvio que las siguientes afirmaciones están lógicamente implicadas en esta teoría: $$\neg \forall x \forall y ((y \times y) \times x = y \times(y \times x))$$ $$\neg \exists a \forall x (a \times x = a)$$ $$\neg \forall x \forall y \exists z (z \times x = y)$$ $$\neg \forall x \forall y (x \times y = y \times x)$$

Sin embargo, no sé cómo seguir adelante

Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

Su teoría es consistente. Aquí hay un modelo. Voy a escribir $*$ en lugar de $\times$ porque es más fácil de escribir.

El universo es el conjunto $\{0,1,2,3,\dots\}$ de todos los enteros no negativos; $x*1=x$ para todos $x;$ para $y\ne1$ definimos $$x*y=\begin{cases} \ \ \ y\ \ \ \ \ \text{ if }\ x=y,\\ \lfloor y/2\rfloor\ \text{ if }\ x\ne y. \end{cases}$$

Claramente $x*1=x$ y $x*0=0$ para todos $x.$

Dado $x$ y $y,$ podemos encontrar $z$ tal que $x*z=y;$ es decir, si $y=0$ toma $z=0;$ si $y\ne0$ elija $z\in\{2y,2y+1\}$ para que $z\ne x.$

Para verificar $x*(y*y)=(x*y)*y$ consideramos tres casos:

Si $y=1$ entonces $x*(y*y)=x*(1*1)=x*1=x$ y $(x*y)*y=(x*1)*1=x*1=x.$

Si $x=y$ entonces $x*(y*y)=y*(y*y)=y*y=y$ y $(x*y)*y=(y*y)*y=y*y=y.$

Si $y\ne1$ y $x\ne y$ entonces $x*(y*y)=x*y=\lfloor y/2\rfloor$ y $(x*y)*y=\lfloor y/2\rfloor*y=\lfloor y/2\rfloor.$