¿Está bien que "ignorar" números pequeños en los límites donde $x$ acerca a infinito?

Question

Tengo un límite:

$$\lim_{x\to\infty}\frac {(2x+3)^3(3x-2)^2} {(x^5 + 5)}$$

¿En cuanto a $x$ acercamientos infinito, puedo simplemente olvido sobre los números de 'pequeños' (como $3$, $-2$ y $5$ en este ejemplo)? Quiero decir es legal hacer una transición a:

$$\lim_{x\to\infty}\frac {(2x)^3(3x)^2} {x^5}$$

¿O si no siempre es bueno - en qué casos dichas transiciones están bien?

Answer 1

Ya que la pregunta es muy amplia (no mencionar siquiera si los casos, usted desea considerar siempre son fracciones, o si el "pequeño número" son constantes, etc), puede ser útil para dar una palabra de advertencia: siempre tratar de hacer lo que, por ejemplo, @Ennar o @user236182 hizo en su respuesta. La "pequeña en comparación con la" lógica puede fallar.

Por ejemplo, uno podría argumentar que como $x$ va a $+\infty$, $\sqrt{x^2+x}-x \sim \sqrt{x^2} -x=x-x \to 0$, desde $x^2+x \sim x^2$, debido al hecho de que $x^2$ es el líder plazo. Sin embargo, el límite de $$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2+x}-x$$ es no $0$, y puede ser un buen ejercicio para averiguar qué es.

Answer 2

Como se ha mencionado en los comentarios, la correcta manera de hacer tan intuitivos como argumentos rigurosos es a través de análisis asintótico utilizando la notación de Landau tal como se ha hecho aquí y aquí: $ \def\lfrac#1#2{{\large\frac{#1}{#2}}} \def\wi{\subseteq} $

Como $x \to \infty$:

$\lfrac{(2x+3)^3·(3x-2)^2}{x^5+5} = \lfrac{(2+\lfrac3x)^3·(3-\lfrac2x)^2}{1+\lfrac5{x^5}} \in \lfrac{(2+o(1))^3·(3+o(1))^2}{1+o(1)}$

$\ \wi (2+o(1))^3·(3+o(1))^2·(1+o(1)) \wi (2^3+o(1))·(3^2+o(1))·(1+o(1))$

$\ = 2^3·3^2·1+o(1) \to 72$.

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Tenga en cuenta que es absolutamente incorrecto para siempre eliminar pequeñas términos en cada expresión. Por lo que es excelente que usted pregunte a su pregunta acerca de cuando es válido. Considerar la cuestión de la búsqueda de $\lim_{x \to 0} \lfrac{\exp(x)-1-\sin(x)}{x^2}$ si es que existe. Si usted simplemente 'eliminar' pequeño términos, entonces usted recibirá $\lfrac{\exp(0)-1-\sin(0)}{x^2} = 0$, que es no deseado límite. Observe cómo el correcto análisis asintótico será nunca fallan:

Como $x \to 0$:

$\lfrac{\exp(x)-1-\sin(x)}{x^2} \in \lfrac{\exp(o(1))-1-\sin(o(1))}{x^2} \wi \lfrac{(1+o(1))-1-o(1)}{x^2} \wi \lfrac{o(1)}{x^2}$.

[Nota de que en el último paso por encima de usted no puede cancelar el "$o(1)$" porque se trata de una clase de valores.]

[De modo que usted está atascado porque el final "$\lfrac{o(1)}{x^2}$" está demasiado suelto un obligado incluso a pesar de que no es malo.]

[Esto nos dice que necesitamos más precisión en la asintótica de expansión, por lo que podemos intentarlo de nuevo.]

$\lfrac{\exp(x)-1-\sin(x)}{x^2} \in \lfrac{(1+x+o(x))-1-(x+o(x))}{x^2} \wi \lfrac{o(x)}{x^2}$.

[De nuevo nos quedamos atascados, aunque "$\lfrac{o(x)}{x^2}$" es ahora una mayor enlazado. Para afinar más!]

$\lfrac{\exp(x)-1-\sin(x)}{x^2} \in \lfrac{(1+x+\lfrac12x^2+o(x^2))-1-(x+o(x^2))}{x^2} \wi \lfrac{\lfrac12x^2+o(x^2)}{x^2} = \lfrac12+o(1) \to \lfrac12$.

[Hay que ir; hemos encontrado el límite, pero podemos refinar aún más para obtener aún más información!]

$\lfrac{\exp(x)-1-\sin(x)}{x^2} \in \lfrac{(1+x+\lfrac12x^2+\lfrac16x^3+O(x^4))-1-(x-\lfrac16x^3+O(x^5))}{x^2} \wi \lfrac{\lfrac12x^2+\lfrac13x^3+O(x^4)}{x^2}$

$\ = \lfrac12+\lfrac13x+O(x^2)$.

Answer 3

Siempre es bueno especificar los pasos que le permiten a «olvidar» esos números, al menos aproximadamente: $$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(2x+3)^3(3x-2)^2}{x^5+5} = \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{72x^5+(\text{terms of degree} < 5)}{x^5\Big(1+\frac{5}{x^5} \Big)} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{72+\frac{(\text{terms of degree }<5)}{x^5}}{1+\frac{5}{x^5}}$ $ y ahora $\frac{\text{terms of degree } < 5}{x^5} \rightarrow 0$ $x \rightarrow \infty$, así como de $\frac{5}{x^5}$, así que tiene $72$.

Answer 4

Cuando se toma el cociente de polinomios, importan sólo los términos principales, como son dominantes. Así que de hecho, en la expansión de la expresión factorizada, puede ignorar los términos de orden inferiores.

La diferencia del grado del numerador y el denominador te dice sobre el límite:

• $n<d$: $\to 0,$
• $n=d$: $\to \dfrac{a_n}{b_d}$, donde $a_n,b_d$ son los coeficientes de los términos principales,
• $n>d$: $\to \pm\infty$, según el signo de $\dfrac{a_n}{b_d}$.

Answer 5

Tenemos %#% $ #%

y así $$\lim_{x\to\infty}\frac{2x+3}{2x} = 1,\ \lim_{x\to\infty}\frac{3x-2}{3x} = 1,\ \lim_{x\to\infty}\frac{x^5+5}{x^5} = 1$ $