¿Cuál es el estado actual de los campos de función conjeturas de Langlands?

Question

Mi pregunta, hablando a grandes rasgos es lo que le sucedió a la función de los campos de Langlands conjetura? Entiendo alrededor de 2000 (o un poco antes quizás), Lafforgue demostrado la función de los campos de Langlands correspondencia para $GL(n)$ en todos los casos (probar todos los aspectos de las conjeturas). Desde entonces, lo que le ha pasado a la función de los campos de Langlands conjeturas, y qué tipo de trabajo que tiene la gente en esta dirección? (O tiene este campo se extinguieron después de Lafforgue del logro monumental?)

He estado intentando pero no he encontrado una buena referencia para esto, pero ya que la función de los campos de Langlands conjeturas pueden ser definidos para todos los reductora grupos (aunque entiendo que, en cierto sentido, no es tan "fuerte" como para $GL$ en el caso general) - ¿cuál es el estado de estas conjeturas? Parcial de los resultados ha obtenido?

Entiendo que geométrica Langlands es muy intensamente investigado hoy en día, pero considero geométricas Langlands como ligeramente diferente (aunque es un análogo de la función de los campos de Langlands correspondencia - de la lectura de Frenkel del artículo geométrica Langlands, mi impresión fue que no geométricas Langlands encapsula toda la información en función de los campos de Langlands conjeturas), y me estoy preguntando qué trabajo se ha hecho desde específicamente en función de los campos de Langlands. O soy yo la incomprensión de las cosas y hacer el mantenimiento de Langlands conjeturas en realidad encapsular toda la información de la función de los campos de Langlands así?

Entiendo que el Lema Fundamental ha sido demostrado recientemente, y que Lafforgue está haciendo algunas cosas relativas a Langlands functoriality en la actualidad. Aquí está una relacionada con el hilo acerca de Langlands functoriality: Donde se encuentra functoriality en 2009?.

Answer 1

(1) Respecto a la relación entre geométricas Langlands y la función de campo de Langlands: normalmente la investigación en geometría Langlands se lleva a cabo en el contexto de bastante restringido ramificación (en todas partes unramified, o tal vez Iwahori nivel de estructura en un número finito de puntos). Hay investigaciones, en algunos casos de silvestre ramificación (que es aproximadamente lo mismo como superior a la Iwahori nivel), pero creo que no es el definitivo del programa en esta dirección en esta etapa.

También, Lafforgue el resultado fue acerca de la construcción de Galois reps. adjunto a automorphic formas. Dado esto, la otra dirección (de Galois reps. a automorphic formas), sigue inmediatamente, a través de conversar teoremas, la teoría de las constantes locales, y Grothendieck la teoría de la $L$-funciones en el campo de función de ajuste.

Por otro lado, mucho trabajo en el geométrica Langlands configuración es acerca de ir de sistemas locales (el geométrica encarnación de todas partes unramified Galois rep.) a automorphic poleas (el geométrica encarnación de un automorphic Hecke eigenform) --- por ejemplo, el trabajo de Gaitsgory, Mirkovic, y Vilonen en el $GL_n$ lo hace. No sé cuánto es conocido en la configuración geométrica de ir hacia atrás, a partir de automorphic poleas a los sistemas locales.

(2) Sobre el estado de la función de campo de Langlands en general: es importante, y abiertas, otros que en el $GL_n$ caso de Lafforgue, y varios otros casos especiales. (Como en el campo de número de configuración, hay muchos casos conocidos, pero estos están lejos de ser el problema general de la functoriality. Langlands escribe en las notas sobre sus obras completas que "no creo que mucho se ha hecho más allá del grupo de $GL(n)$".) Langlands ha iniciado un programa llamado `más Allá de la endoscopia" para el planteamiento de la cuestión general de functoriality. En el campo número de caso, parece confiar en desconocidos (y aparentemente fuera de su alcance) problemas de la teoría analítica de números, pero en el campo de función caso de que haya alguna posibilidad de acercarse a estas preguntas geométricamente en su lugar. Este es un tema de investigación en curso.