Encuentra$a, b, c, d \in \mathbb{Z}$ tal que$2^a=3^b5^c+7^d$

Question

Resolver $2^a=3^b5^c+7^d$ sobre el número entero positivo.

Sé $a$ es incluso porque: $(-1)^a \equiv2^a = 3^b5^c+7^d \equiv1 \ (mod\ 3)$

Answer 1

Su título lo dice $\in \mathbb{Z}$ pero su pregunta dice enteros positivos. Que es?

Voy a resolver suponiendo enteros positivos a continuación. Si desea más $\mathbb{Z}$, puedo editar más tarde.

Tomando $\pmod 3$ da $2^a \equiv 1 \pmod 3$$2 \mid a$.

Tomando mod $5$ da $2^a \equiv 7^d \equiv 2^d \pmod 5$$a \equiv d \pmod 4$.

En particular, $d$ es aún, así que vamos a $a=2a_1, d=2d_1, a_1 \equiv d_1 \pmod 2$.

A continuación, $3^b5^c=(2^{a_1}-7^{d_1})(2^{a_1}+7^{d_1}), \, \gcd((2^{a_1}-7^{d_1}), (2^{a_1}+7^{d_1}))=\gcd((2^{a_1}-7^{d_1}), 2^{a_1+1})=1$

Considere la posibilidad de 2 casos: $2 \mid {a_1, d_1}$, $2 \nmid {a_1, d_1}$

Caso 1: $2 \mid {a_1, d_1}$

A continuación,$2^{a_1}+7^{d_1} \equiv 2 \pmod 3, 2^{a_1}+7^{d_1}>1$, lo $2^{a_1}+7^{d_1}=5^c, 2^{a_1}-7^{d_1}=3^b$.

Escribir $a_1=2a_2, d_1=2d_2$, lo $3^b=(2^{a_2}-7^{d_2})(2^{a_2}+7^{d_2}), \, \gcd((2^{a_2}-7^{d_2}),(2^{a_2}+7^{d_2}))=1$.

Por lo tanto $2^{a_2}-7^{d_2}=1, 2^{a_2}+7^{d_2}=3^b$.

Tomando $\pmod 7$, $2^{a_2} \equiv 1 \pmod 7$, por lo $3 \mid {a_2}$.

Deje $a_2=3k$,$7^{d_2}=2^{3k}-1=(2^k-1)(2^2k+2^k+1)$.

Desde $\gcd((2^k-1),(2^2k+2^k+1)) \mid 3$, $\gcd((2^k-1),(2^2k+2^k+1))=1$, por lo $2^k-1=1$.

Por lo tanto $k=1$, lo $a_2=3, d_2=1, 2^{a_2}+7^{d_2}=15 \not =3^b$, una contradicción.

Caso 2: $2 \nmid {a_1, d_1}$

A continuación,$2^{a_1}+7^{d_1} \equiv 0 \pmod 3$, por lo que tenemos 2 sub casos: $2^{a_1}+7^{d_1}=3^b5^c$, $2^{a_1}+7^{d_1}=3^b$

El caso 2a: $2^{a_1}+7^{d_1}=3^b5^c$.

A continuación,$2^{a_1}-7^{d_1}=1$, y el argumento como el anterior (teniendo en $\pmod 7$, entonces la factorización de la diferencia de cubos) muestra $a_1=3, d_1=1$, lo $2^{a_1}+7^{d_1}=15=3^b5^c$.

Por lo tanto $b=c=1$, e $a=6, d=2$, dando la solución a $(a, b, c, d)=(6, 1, 1, 2)$, el cual trabaja.

Caso 2b: $2^{a_1}+7^{d_1}=3^b$.

A continuación, $2^{a_1}-7^{d_1}=5^c$

Tomando $\pmod 7$ da $2^{a_1} \equiv 3^b \pmod 7$.

Desde $2$ es un residuo cuadrático $\pmod 7$, pero 3 no es un residuo cuadrático $\mod 7$, se deduce que el $2 \mid b$

Por lo tanto $3^b \equiv 1 \pmod 4$, lo $2^{a_1+1}=3^b+5^c \equiv 2 \pmod 4$, una contradicción.

En conclusión $(a, b, c, d)=(6, 1, 1, 2)$ es el único entero positivo de la solución.

Answer 2

Una solución a la ecuación es $a = 2$, $b = 0$, $c = 0$ y $d = 0$. Otra sería $a = 3$, $b = 0$, $c = 0$, $d = 1$. Sin embargo otro sería $a = 4$, $b =1$, $c = 1$, $d = 0$. Y $a = 5$, $b = 0$, $c = 2$, $d =1$.

Uno es inteligente reconocer que $a + b + c+d = 2(a - 1)$ % todo $a,b,c,d \in \mathbb{N}$que satisfacen su ecuación. Ya que queremos soluciones del número entero positivo, resulta que hay sólo una tupla que cumpla lo anterior: $(6,1,1,2)$.

Answer 3

Una solución en números enteros positivos es $a=6$, $b=c=1$, $d=2$. Una búsqueda puede revelar otros.