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Estructura del grupo de una curva elíptica

Deje $E$ ser una curva elíptica sobre el campo $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

La curva de grupo de $E(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ es siempre una) cíclico o b)el producto directo de dos grupos cíclicos.

Primera pregunta: ¿Cómo puedo informar de un campo determinado y la curva si es el caso a) o b) ?

Otra pregunta de la siguiente manera a partir de un ejemplo: La curva de $E: y^2 = x^3 - x$ $\mathbb{Z}/71\mathbb{Z}$ 71 afín puntos y un punto en el infinito, de modo que el grupo es isomorfo a $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/36\mathbb{Z}$ (que es el caso b)).

La segunda pregunta es: ¿por Qué no es isomorfo a $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/18\mathbb{Z}$ ?

En otras palabras, para b) en el caso de las curvas, ¿cómo puedo saber qué son esos dos en el producto?

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Lubin Puntos 21941

Para simplificar, voy a escribir $C_n$$\mathbb Z/n\mathbb Z$.

En primer lugar, creo que usted encontrará que $C_2\times C_{36}$ $C_4\times C_{18}$ son isomorfos. La mejor manera de escribir algo como esto es para asegurarse de que los índices de brecha: $2|36$, pero $4$ no divide $18$.

Su pregunta acerca de por qué $C_3\times C_{24}$ no ocurre, es mucho más interesante, y estoy casi en el agua sobre mi cabeza en el intento de una respuesta. Hay un bonito gadget llamado la $e_n$-conexión en los puntos de la orden de $n$ de una curva elíptica, y se define sobre el campo de tierra, con valores en el grupo multiplicativo esquema de $\mathbf G_{\mathrm m}$. El resultado de todo esto es que si todos los $n^2$ puntos de la curva elíptica de plazo, $n$ $k$- racional ($k$ siendo el campo de tierra), entonces el $n$-th raíces de la unidad tiene que ser en $k$. Pero, por supuesto, $\mathbb F_{71}$ no tiene raíces cúbicas de la unidad. (Sé que me he dejado fuera demasiados detalles aquí, pero el tema está bastante avanzado, y no tengo las habilidades.)

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