$f(x)$ es una función analítica en $\mathbb{R}$ tal que $f(-x)f(x)=1$. ¿Qué más podemos encontrar información sobre $f(x)$?

Question

Bueno, sé que hay algunas cosas que podemos decir de inmediato:

• $f(0)= \pm 1$, se sigue inmediatamente

• $f(x)=\pm 1$ es la solución obvia, así que vamos a buscar otras soluciones. Por otra parte, vamos a considerar sólo el caso de $f(0)=1$ por ahora

• La obvia identidades, tales como

$$f(x)^2=\frac{f(x)}{f(-x)}$$

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Y ahora para la serie:

$$f(x)=a_0+a_1 x+ a_2 x^2+a_3 x^3+\dots$$

Podemos ver de inmediato por la multiplicación de la serie para $f(x)$ $f(-x)$ que (para el caso de $f(0)>0$):

$$a_0=1$$

$$a_2=\frac{a_1^2}{2}$$

$$a_4=a_1 a_3-\frac{a_1^4}{8}$$

$$a_6=a_1 a_5+\frac{a_3(a_3-a_1^3)}{2}+\frac{a_1^6}{16}$$

Y así sucesivamente. Los coeficientes para el incluso poderes estarán relacionados con los de los extraños poderes.

Pero esa es la medida de lo que realmente podemos decir, o eso creo.

¿Qué más podemos decir acerca de la $f(x)$ sobre la base de estas dos restricciones sólo? ¿Y cuál es el más débil de restricción se necesita para obtener a $f(x)=c^x$?

Answer 1

Tienes que % es equivalente al decir que $f(x)f(-x)=1$, analítica función impar $f(x)= \pm \exp(g(x))$ $g$.

De hecho, si $g$ es cualquier analítica función impar, entonces $$e^{g(x)}e^{g(-x)}=e^0=1$ $

Por otro lado, si $f(x)f(-x)=1$ (WLOG $f(0)=1$), a continuación, $f$ nunca se desvanece. Por lo que podemos pensar que $f$ es positiva en todas partes y tomando logaritmos $$\log f(x) + \log f(-x) = 0$ $ es decir $\log f$ es una función impar. Si suponemos $f(0)=-1$, $\log (-f)$ es raro.

Answer 2

$f$ no una raíz, porque si existe $a\in \mathbb{R}/f(a)=0\to 0=1$, abs. Porque $f$ es continuo, $f$ es todo positivo con $f(0)=1$ o todo negativo con $f(0)=-1$. Toda función diferenciable satisfacer esto, es una respuesta.

Answer 3

Tomar cualquier función analítica en $R^{+}$ $0$ hasta el infinito que satisface solamente % o $f(0)=-1$ $f(0)=1$y $f(x) \neq 0, x>0$.

Crear $g(x) =\begin{cases} f(x) & \text{ if } x \geq 0 \\ \frac{1}{f(x)} & \text{ if } x < 0 \end{casos} $

Se trata de una familia muy grande de funciones. Cualquier definición de $f(x)=c^x$ $R^{+}$ contendría $f(-x)f(x)=1$ ya pues $f(-x)=\frac{1}{f(x)}=f(x)^{-1}$, al igual que $f(ax)=f(x)^{a}$ $R^{+}$ $f(x)=c^x$. Básicamente no haríamos más que $f(x)=c^x$ sobre los valores negativos se extienden.