Si $\Omega$ es un conectado había limitado conjunto abierto en $\mathbb R^n$ tal que el % de límite $\partial \Omega$es liso. ¿Entonces podemos encontrar una función $u \in C(\Omega^c)$, que $\Delta u=0$ en el complemento de $\bar \Omega $ y $u=1$ $\partial \Omega$ y $\mathop {\lim }\limits_{\left| x \right| \to \infty } u(x) = 0$?
Respuesta
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Rismo
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El objeto que está buscando, también conocido como el capacitary potencial del conjunto $\Omega$, ya que es la función cuya energía $\int_{\Omega^c} |\nabla w|^2 dx$ alcanza la capacidad del conjunto de $\Omega$. Hay una débil solución/formulación variacional del problema, así como el potencial de la teoría de la una de la tarde de 5 a poner hasta arriba.
Considerar el espacio de Sobolev $H^1(\Omega^c)$, con la norma dada por $$\|w\|_{H^1(\Omega^c)}^2 = \| \nabla w\|^2_{L^2(\Omega^c)} + \|w\|^2_{L^2(\Omega^c)}$$ Entonces usted necesita sólo de minimizar la energía $\int_{\Omega^c} |\nabla w|^2 dx$ entre todas las funciones de $w$ cuyo rastro en $\partial \Omega$ es 1. Al $n \geq 3$, el Sobolev incrustación le da la condición necesaria para la existencia de un minimizer en este espacio (observe que la integración sólo falla en $n=2$), y la habitual de la teoría de puntos regulares de armónica de funciones da el deseado de las condiciones de contorno.
