¿Por qué las interesantes antihomomorphisms tienden a ser involuciones?

Question

Dado un semigroup $S$, definir que una antihomomorphism en $S$ es una función de $$* :S \rightarrow S$$

la satisfacción de $(xy)^* = y^*x^*.$ Ejemplos abundan. Considere la posibilidad de:

1. La transposición, donde $S$ es igual al conjunto de $2 \times 2$ real de las matrices.

2. Conjugado de transposición, donde $S$ es igual al conjunto de $2 \times 2$ matrices complejas.

3. El mapa que toma un binario relación a su opuesto, donde $S$ es igual a la monoid de relaciones binarias sobre un conjunto $X$.

4. La inversión, en cualquier grupo.

Lo extraño es que en todos los ejemplos anteriores, la estrella de la operación es en realidad involutiva. De hecho, la parte superior de mi cabeza no puedo pensar en no trivial antihomomorphisms que no lo son también de involuciones.

¿Por qué el antihomomorphisms de interés tienden a ser de involuciones?

Quiero decir, ¿hay algún tipo de "asesino teorema" o algo así, que sólo hace involutiva antihomomorphisms totalmente impresionante?

Por el contrario, yo también estoy interesado en los ejemplos de antihomomorphisms que no se involuciones, pero que todavía se consideren importantes.

Answer 1

Funtor contravariante es antihomomorphisms de pequeñas categorías consideradas de Semigrupos.

Answer 2

Dado un semigroup $S$, definir que una antihomomorphism en $S$ es una función de $$* :S \rightarrow S$$

Esto debería ser llamado un anti-endomorfismo. Un antihomomorphism serían más bien una función de $$a :S \rightarrow T$$ Ahora si $S$ (o $T$) tiene un involutiva anti-automorphism $i$, $h=a\circ i$ (o $h=i\circ a$) es normal que un homomorphism, nos conseguimos $a=h\circ i$ (o $a=i\circ h$). Así que en este caso, se obtiene la impresión de que sólo $i$ es un importante anti-homomorphism, porque todos los demás anti-homomorphism parece corresponder a una normal homomorphism.

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Si $S$ no tiene anti-automorfismos, entonces la identidad de $I:S \rightarrow S^{op}$ es un antihomomorphisms de interés, que no puede ser escrito como la composición normal de un homomorphism y un involutiva anti-automorphism.

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La categoría de semigroups con homomorphisms y automorfismos como morfismos es diferente de la categoría de *-semigroups, y tiene diferentes aplicaciones. El (finitely generado) libre de los objetos de esta categoría todavía se corresponden directamente $\Sigma^+$, es decir, el no-vacío cadenas sobre el alfabeto $\Sigma$. Esta categoría puede ser utilizado para clasificar las clases de idiomas cerrado bajo la reversión (de cadenas). (Por supuesto, incluso en este caso no es un trivial involutiva antihomomorphism, es decir, dicho cambio. Pero es importante no explícitamente el nombre, porque de lo contrario los objetos libres sería diferente).