Demostración de la irreductibilidad de $x^4-16x^3+20x^2+12$ en $\mathbb Q[x]$

Question

Intentar demostrar que el siguiente polinomio es irreducible en $\mathbb Q[x]$ :

$x^4-16x^3+20x^2+12$

Lo que he probado:

1.) El criterio de Eisenstein, pero no existe ningún primo adecuado.

2.) reduciendo a módulo 2, 3, 5 ,7, 11, pero según mis cálculos, la reducción a mod 2, mod 3, mod 5, mod 7, produce un polinomio reducible. Mod 11 parece que podría funcionar, pero no creo que sea el enfoque correcto, dado el gran número de factores cuadráticos potenciales que habría que comprobar.

3.) Este polinomio no supera la prueba de las raíces racionales, por lo que sé que los únicos factores posibles serían los polinomios de segundo grado. Guiado por algunos de los posts anteriores sobre preguntas relacionadas, he intentado resolver algún tipo de contradicción asumiendo que el polinomio puede ser factorizado como $(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$ pero no he tenido mucha suerte con este enfoque.

Me imagino que estoy mirando algo obvio pero no puedo verlo. Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Nótese que cualquier factorización será de la forma $$x^4 -16x^3+20x^2+12 = (x^2+2ax+2b)(x^2+2cx+2d)$$ Aquí $a,b,c,d$ son números enteros. Hemos utilizado el lema de Gauss para observar que si $f(x)$ es reducible sobre $\Bbb Q$ entonces es reducible sobre $\Bbb Z$ . Los factores de dos provienen del hecho de que después de reducir el mod $2$ nuestra factorización debe convertirse en una factorización de $x^4$ .

Expandiendo nuestra expresión nos da las siguientes ecuaciones a satisfacer. $$\begin{align*} 2a + 2c &= -16\\ 2b+2d + 4ac &= 20\\ 4bc+4ad &= 0\\ 4bd &= 12 \end{align*}$$ Esto último implica que el par $\{b,d\}$ es $\{1,3\}$ o $\{-1, -3\}$ . A partir de esta configuración es elemental comprobar que ninguna elección de enteros funcionará

Answer 2

Estoy aquí para demostrar por Contradicción .

Supongamos que $x^4-16x^3+20x^2+12$ puede ser factorizado, por lo que tenemos

\begin{align} x^4-16x^3+20x^2+12&=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)\\&=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd \end{align}

Comparando términos similares, tenemos:

$$ad+bc=0------(1)$$ $$ac+b+d=20----(2)$$ $$a+c=-16-----(3)$$ $$bd=12-------(4)$$

$d(1),(4)$ :

$$ad^2+bdc=0$$ $$d=\pm{\sqrt{\frac{-12c}a}}$$

Para $d\in{\Bbb{Q}}, \exists{k\in{\Bbb{Q}}\text{\0}}$ , $\frac{c}a=-3k^2----(5)$ ,

así que $d=\pm{6k}-----(6)$

Sub (5),(6) en $(1)/a$ ,

$$\pm{6k}+b(-3k^2)=0$$ $$b=\pm\frac2k$$

Sub (5) en (3), $$a-3ak^2=-16$$ $$a=\frac{16}{3k^2-1}$$ $$c=-3ak^2=\frac{-48k^2}{3k^2-1}$$

Sub $a,b,c,d$ a la expresión original,

\begin{align} (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)&=(x^2+\frac{16}{3k^2-1}x\pm\frac2k)(x^2+\frac{-48k^2}{3k^2-1}x\pm{6k})\\&=((3k^2-1)x^2+16x\pm{\frac{2(3k^2-1)}{k}})((3k^2-1)x^2-48k^2\pm{6k(3k^2-1)}) \end{align}

Así que $$12(3k^2-1)^2=12$$ $$3k^2=\pm{1}+1$$ $$k^2=\frac23\text{ or } 0 \text{ (rej.) }$$ $$k=\pm{\sqrt{\frac23}}\notin{\Bbb{Q}}$$

Recall Para $d\in{\Bbb{Q}\text{\0}}, \exists{k\in{\Bbb{Q}}}$

¡Contradicción!

$x^4-16x^3+20x^2+12$ no se puede factorizar en la expresión en la que $k\in{\Bbb{Q}}$ .

Por lo tanto, la irreductibilidad de $x^4-16x^3+20x^2+12$ está probado.

Answer 3

En mi opinión, aquí hay criterios interesantes relacionados con los primos, aunque puede costar un poco de esfuerzo encontrar primos adecuados.

Primera aproximación, podemos utilizar el criterio de Murty (como el utilizado en esta otra respuesta mía por ejemplo Demostrar que $f=x^4-4x^2+16\in\mathbb{Q}$ es irreducible ), para el polinomio revertido $g(x) =1/x^4f(1/x) = 12x^4+20x^2-16x+1$ , ya que $f(4)=3329$ es un primo.

O también podemos utilizar el criterio dado por Osada en el libro Polinomios de Prasolov (como se muestra en esta respuesta por ejemplo Demostrar la irreductibilidad de $x^6-72$ ), esta vez para $f(x+5)=x^4+4x^3-70x^2-500x-863$ , ya que $863$ es un primo y $863 > 1+4+70+500 = 575$ .