Desde $y^2=2x^2+3x+1=(2x+1)(x+1)$$(2x+1,x+1)=1$, debemos tener enteros $p$$q$, de modo que $2x+1=p^2$ $x+1=q^2$ (desde que llegamos $y=pq$).
Por lo tanto, tenemos que resolver
$$
2t^2-p^2=1\etiqueta{1}
$$
En la forma estándar para resolver la Ecuación de Pell, $\frac pq$ tiene que ser una continuación de la fracción de subestimación de $\sqrt2$. Computación en la continuación de la fracción de los rendimientos de $\sqrt2=(1;2)$. Por lo tanto, la approximants queremos que sería la subestima, que suceden todos los otros approximant:
$$
\begin{align}
(1)&=\frac11\Rightarrow x=0\quad\text{and}\quad y=1\\
(1,2,2)&=\frac75\Rightarrow x=24\quad\text{and}\quad y=35\\
(1,2,2,2,2)&=\frac{41}{29}\Rightarrow x=840\quad\text{and}\quad y=1189\\
(1,2,2,2,2,2,2)&=\frac{239}{169}\Rightarrow x=28560\quad\text{and}\quad y=40391
\end{align}\etiqueta{2}
$$
Empezamos con
$$
(p_0,q_0)=(1,1)\quad\text{y}\quad(p_1,q_1)=(7,5)\etiqueta{3}
$$
La continuación de la fracción implica la recurrencia
$$
(p_n,q_n)=6(p_{n-1},q_{n-1})-(p_{n-2},q_{n-2})\etiqueta{4}
$$
$(3)$ $(4)$ el rendimiento de la solución
$$
\begin{align}
p_n&=\left({\tfrac12+\tfrac1{\sqrt2}}\right)\left(3+\sqrt8\right)^n
+\left(\tfrac12-\tfrac1{\sqrt2}\right)\left(3-\sqrt8\right)^n\\
q_n&=\left(\tfrac12+\tfrac1{\sqrt8}\right)\left(3+\sqrt8\right)^n
+\left(\tfrac12-\tfrac1{\sqrt8}\right)\left(3-\sqrt8\right)^n\\
\end{align}\etiqueta{5}
$$
Desde $x_n=q_n^2-1$ y $y_n=p_nq_n$, $(5)$ da
$$
\begin{align}
x_n&=\left(\tfrac38+\tfrac1{\sqrt8}\right)\left(17+6\sqrt8\right)^n
+\left(\tfrac38-\tfrac1{\sqrt8}\right)\left(17-6\sqrt8\right)^n
-\tfrac34\\
y_n&=\left(\tfrac12+\tfrac3{2\sqrt8}\right)\left(17+6\sqrt8\right)^n
+\left(\tfrac12-\tfrac3{2\sqrt8}\right)\left(17-6\sqrt8\right)^n
\end{align}\etiqueta{6}
$$
que cumplan las recursiones
$$
\begin{align}
x_n&=35x_{n-1}-35x_{n-2}+x_{n-3}\\
y_n&=34y_{n-1}-y_{n-2}
\end{align}\etiqueta{7}
$$
Desde $x^2-34x+1\,|\,x^3-35x^2+35x-1$, cualquier secuencia que satisface la recurrencia de $y_n$ satisface la recurrencia de $x_n$. Así, tenemos todas las soluciones a $y^2=2x^2+3x+1$ a partir de
$$
(x_0,y_0)=(0,1)\quad(x_1,y_1)=(24,35)\quad(x_2,y_2)=(840,1189)\etiqueta{8}
$$
y la recurrencia
$$
(x_n,y_n)=35(x_{n-1},y_{n-1})-35(x_{n-2},y_{n-2})+(x_{n-3},y_{n-3})\etiqueta{9}
$$
Segunda Condición
Tener $x=nk^2$, mientras que el mantenimiento de $x=q^2-1$, tenemos que tener
$$
q^2-nk^2=1\etiqueta{10}
$$
Esta es la Ecuación de Pell de nuevo. Sin embargo, estamos limitados a usar $q$ que también satisfacer $(1)$. Por lo tanto, $q$ es una solución simultánea a$(1)$$(10)$. No he venido para arriba con una manera de manejar esto en general.
Una Conjetura uso de Borel-Cantelli
Mirando a $(5)$, la densidad de las soluciones a $(1)$ es de alrededor de
$$
\rho(n)=\frac1{n\log(3+\sqrt8)}\etiqueta{11}
$$
A pesar de $\sqrt n$ puede tener un complicado continuó fracción, las soluciones a $(10)$ tienen una forma similar a $(5)$. Es decir, la densidad de las soluciones es $O\left(\frac1n\right)$. Por lo tanto, si la probabilidad de que un determinado $q$ a ser una solución a $(1)$ es independiente de la probabilidad de que el mismo $q$ ser una solución a $(10)$, entonces la probabilidad de a $q$ ser una solución para los dos es $O\left(\frac1{n^2}\right)$. Desde $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac1{n^2}\lt\infty$, el Borel-Cantelli Lema dice que la probabilidad de que existe un número infinito de soluciones, para un determinado$n$$0$.
Por lo tanto, parece una buena suposición de que puede haber algunas soluciones aisladas, pero para un determinado $n$, hay en la mayoría de un número finito de soluciones.
