Si $f\in L^\infty(\mathbb R^2)$ (en mi ejercicio particular, $f\in H^2(\mathbb R^2)$, el espacio de sobolev), quiero $|f|_{L^\infty}= $esssup $|f|\leq c|f|_{L^p}$ con destino a algunos p, ¿qué tipo de número p se puede?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Normalmente las preguntas de este tipo sólo puede posiblemente tener una respuesta, y usted puede encontrar que la respuesta basada en una escala argumento. Desafortunadamente, la escala muestra que esto no puede suceder. He aquí cómo usted puede ver que:
Tomar una función genérica $f \in L^\infty(\mathbb{R}^2)$ y considere la función $f_\lambda$ donde $f_\lambda (x) = f(\frac{x}{\lambda})$. Supongamos que $\| f\|_{L^p} < \infty$ de lo $p$ esta desigualdad podría deparar. Observe que $\| f_\lambda \|_{L^\infty} = \| f \|_{L^\infty}$ por la construcción. Pero si $0 < p < \infty$$ \| f_\lambda \|_{L^p} = \lambda^{\frac{1}{p}} \|f\|_{L^p}$. Si esta desigualdad se cumple para algunos $p$ debemos tener para cada $f \in L^\infty$ tendríamos que para cada $\lambda$ $$ \| f \|_{L^\infty} = \| f_\lambda \|_{L^\infty} \leq c \|f_\lambda \|_{L^p} = \lambda^{\frac{1}{p}} c \|f\|_{L^p}$$
Tomando $\lambda \to 0$ nos da una contradicción ya que esta desigualdad implica que la $L^\infty \cap L^p = \{0\}$, lo que claramente no es cierto teniendo en cuenta la función de indicador de la set $[0,1]$.
