¿Cómo solucionarlo?

Question

¿Cómo resolver $f\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial t}=0$? (donde $f(x,t)$ se supone que es en $C^\infty(\mathbb{R}\times\mathbb{R^+}\rightarrow\mathbb{R})$)

Puedo encontrar una solución particular que es $f=\frac{x}{t}$. ¿Esta es la única solución? Si no ¿cómo puedo encontrar la otra solución?

Answer 1

Tenga en cuenta que si $f(x,t)$ satisface la condición dada, a continuación, $f(x-a,t-b)$ también satisface la condición dada.

A lo largo de la curva de $x(t)$, $$ \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial t}\etiqueta{1} $$ la condición dada implica que $f$ permanecerá constante en las curvas donde $$ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=f\etiqueta{2} $$ Supongamos $f(x_0,t_0)=a$. A continuación, $f(x,t)=a$ sobre la línea en $\frac{x-x_0}{t-t_0}=a$.

Supongamos que sabemos que $f(x,0)=\phi(x)$, luego $$ f(x+\phi(x)t,t)=\phi(x)\etiqueta{3} $$

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Si utilizamos $\phi(x)=x$$(3)$, obtenemos $$ f(x+xt,t)=x\implica f(x,t)=\frac x{t+1}\etiqueta{4} $$ que es una traducción de su función de $f(x,t)=\frac xt$.

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Si utilizamos $\phi(x)=x^2$$(3)$, obtenemos $$ f(x+x^2t,t)=x^2\implica f(x,t)=\left(\frac{-1+\sqrt{1+4xt}}{2}\right)^2\etiqueta{5} $$ Por lo tanto, se pueden generar diferentes funciones de $f$ dado diferentes funciones de $\phi$.

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O. L. menciona que la ecuación $$ f\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial t}=0\etiqueta{6} $$ se llama la Viscosos Hamburguesas de la Ecuación.