En su BAII, Jacobson ofrece el siguiente ejercicio (Ejercicio 3 en §4.2 de Álgebra Básica II ), que atribuye a McCrimmon.
Dejemos que $A$ sea un anillo (asociativo) con unidad. Sea $\mathfrak{R}\left(A\right)$ denotan el radical de Jacobson de $A$ .
Demostrar que $z\in\mathfrak R(A)$ si para cada $a\in A$ existe $w\in A$ tal que $z+w=zaw=waz$ .
He encontrado este que está escrito por McCrimmon y dice "Comunicado por Nathan Jacobson", pero sinceramente, no puedo sacar mucho en claro (por ejemplo, no sé qué es un homotopo de un álgebra (¿alternativa?)).
He intentado algunas manipulaciones algebraicas utilizando ese whenver $z$ está en el radical, cada elemento de $Az$ es cuasi-invertible y cada elemento de $zA$ es cuasi invertible a la derecha: supongamos que $(1-w)(1-az)=1$ y $(1-za)(1-w')=1$ es decir $$\begin{eqnarray}\tag 1 w+az=waz\\ \tag 2 w'+za=zaw'\end{eqnarray}$$
Multiplicando el primero de la derecha por $aw'$ y el segundo a la izquierda por $wa$ y restando se obtiene $azaw'=waza$ y la multiplicación de los primeros por $a$ a la izquierda y a la derecha resp da $waza=wa+aza$ y $azaw'=aw'+aza$ por lo que al cancelar se obtiene $wa=aw'$ . Entonces obtenemos $zw=w'z$ por la misma razón. Esto da finalmente que $w+az=waz$ puede convertirse en $w+az=azw$ Así que $(1-az)(1-w)=1$ también. Lo mismo con el otro. Esto demuestra que $1-az$ y $1-za$ son ambos q.i. ¿Puede alguien ayudar más?
