Si $X,Y$ están correlacionados positivamente, son $f(X),f(Y)$ también se correlacionan positivamente para un aumento positivo $f$ ?

Question

Supongamos que $X$ y $Y$ son variables aleatorias positivas e integrables al cuadrado, tales que $X$ y $Y$ están correlacionados positivamente, es decir, $\mathbb{E}[XY] - \mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y] \geq 0$ . Dejemos que $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+$ sea una función positiva y creciente. Mi pregunta es: ¿Son $f(X)$ y $f(Y)$ ¿corresponden positivamente? Muchas gracias.

Answer 1

Dejemos que $X\sim U(0,2)$ , $Y=(X-1)^2$ y $f(x)=(\sqrt{x}+1)1\{x\ge 0\}+e^x1\{x<0\}$ . Entonces $f$ es una función positiva y creciente y $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$ . Sin embargo, $$ \mathrm{Cov}(f(X),f(Y))=\left(\frac{4}{15}-\frac{\sqrt{2}}{5}\right)<0. $$