Fila de imanes pivotantes y escala de energía

Question

Esta pregunta se refiere a un sistema que implica una fila horizontal de longitud L de imanes pivotantes igualmente espaciados, cada uno con un polo en cada extremo. Estos imanes se denominan a menudo unidades.

Así, cada unidad, al girar, hace que sus vecinas giren en sentido contrario a ella.

Cuando la primera unidad se gira rápidamente 1/4 de vuelta y se fija en su lugar de forma rotativa, es probable que cada una gire menos que la anterior al principio, tardando más en completar el 1/4 de vuelta completo. Al final, todas girarán el 1/4 completo, ya que el extremo más alejado de la línea aún no está fijado.

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Girar el primer imán requerirá energía. Para una línea de 1000, aunque será más energía que para una línea de, por ejemplo, 2, será menos de 1000 veces la energía requerida para una línea de 1. Esto se debe a que:

1. El impulso significa que cada unidad no necesita girar toda la distancia para girar la primera unidad, no es como si estuvieran conectadas entre sí por varillas, la primera puede girar todo el camino antes de que las otras hayan tenido tiempo de girar mucho.

2. Los imanes más distantes contribuyen con menos fuerza, por lo que la mayoría de las unidades están contribuyendo con muy poca fuerza a la primera unidad directamente. Otra forma de pensar en esto es que la línea de imanes separados forma un imán compuesto que resultará en más fuerza que la que tiene cada imán componente individualmente, pero no tanto como 1000 veces más, por ejemplo si el metal se adhiere a un extremo tomará menos de 1000 veces la fuerza de un imán individual para quitarlo.

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Las bobinas alrededor de cada unidad ralentizan la rotación pero producen N electricidad después de 1/4 de vuelta, sea cual sea el tiempo que dure el 1/4 de vuelta.

La cantidad de electricidad producida parece ser L * N, para una potencia de entrada que se incrementa en una cantidad decreciente para el crecimiento de L, un ejemplo de este tipo de crecimiento podría ser sqrt(L).

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Pregunta: Esto tiene el potencial de no sumar energía para las largas colas, ¿qué está pasando?

Answer 1

No se obtiene la misma cantidad de trabajo, N, de cada bobina. Las unidades más alejadas dan menos trabajo. Por lo tanto, el trabajo total recuperado por las bobinas no es L*N. (por cierto L y N tienen significados muy específicos en electromagnetismo por lo que debes evitar usar esos nombres de variables)

De hecho, la energía total del sistema se conserva en todo momento porque la energía potencial se transforma temporalmente en cinética mientras los imanes lejanos se toman su tiempo para moverse.

Para convencerte de que N no es constante, piensa en un alternador/generador y recuerda que el trabajo es la integral temporal de la potencia.

Para un par dado, trq, @ 0 rpm el alternador da 0 potencia, por lo tanto realiza 0 trabajo después del tiempo t. Para el mismo par dado, trq, @ rpm > 0 el alternador tiene una potencia >0, por lo que realiza un trabajo no nulo después del tiempo t.

Por lo tanto, la potencia del alternador depende de la velocidad de rotación. Como lo hace el trabajo que recuperará de sus unidades magnéticas. Las unidades que se mueven lentamente y que están lejos del imán inicial le dan menos trabajo que las que están más cerca de él. (no es la forma más elegante de explicarlo, pero quizá sea la más intuitiva)

Answer 2

$\def\vm{{\bf m}}$ Si los imanes son libres de girar, encontrarán el estado de menor energía. Esto ocurre cuando todos los imanes están alineados cabeza con cola a lo largo de la línea. $$\begin{equation*} \rightarrow\rightarrow\rightarrow\cdots\rightarrow\tag{1} \end{equation*}$$ Si ahora el imán de un extremo se gira un cuarto de vuelta y luego se fija, no se deduce que todos los demás imanes se alineen de forma alterna. $$\begin{equation*} \uparrow\downarrow\uparrow\cdots\uparrow\tag{2} \end{equation*}$$ De hecho, los imanes se alinearán algo así $$\begin{equation*} \uparrow\searrow\rightarrow\cdots\rightarrow\tag{3} \end{equation*}$$ ya que la energía potencial de esta configuración es menor que la de (2).

Algunos detalles

La energía potencial del interacción magnética dipolo-dipolo entre los vecinos más cercanos $i$ y $i+1$ es de la forma $$H_{i,i+1} = -J(3(\vm_i\cdot \hat x)(\vm_{i+1}\cdot \hat x)-\vm_i\cdot \vm_{i+1})$$ donde tomamos $\hat x$ para ser el vector unitario que apunta desde el dipolo $i$ a $i+1$ . Dejar $\vm_i=(\cos\theta_i,\sin\theta_i)$ encontramos $$H_{i,i+1}=-\frac{J}{2}(3\cos(\theta_i+\theta_{i+1}) + \cos(\theta_i-\theta_{i+1})).$$

El potencial entre los vecinos más cercanos se minimiza cuando $\theta_i = \theta_{i+1}=0$ o $\pi$ , en cuyo caso encontramos $H_{i,i+1}=-2J$ . Así, la energía de la configuración (1) es aproximadamente $$H = -2Jn$$ donde $n+1$ es el número de imanes. (Aquí ignoramos los efectos de mayor alcance).

Por otro lado, si $\theta_i = -\theta_{i+1} = \pm\pi/2$ tenemos $H_{i,i+1}=-J$ . Así, la energía de la configuración (2) es aproximadamente $$H = -Jn.$$

Observe que la configuración $$\begin{equation*} \uparrow\rightarrow\rightarrow\cdots\rightarrow\tag{4} \end{equation*}$$ tiene potencial $$H = -2J(n-1)$$ desde $H_{1,2}=0$ . Para grandes $n$ esto es mucho menos que la energía de la configuración (2).

Algunos resultados para valores particulares de $n$

Para dos imanes, la configuración será la que se indica.

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Para tres imanes la energía se puede minimizar algebraicamente. Ya vemos que a los imanes les gusta estar alineados. Encontramos $$\begin{eqnarray*} \theta_1 &=& \pi/2 = 90^{\circ} \\ \theta_2 &=& -\cos^{-1}\sqrt{2/3} \approx -35^\circ \\ \theta_3 &=& \cos^{-1}2\sqrt{2}/3 \approx 19^\circ. \end{eqnarray*}$$

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Para $50$ imanes la energía puede ser minimizada numéricamente. Encontramos, a una décima de grado, $$\begin{eqnarray*} \theta_1 &=& 90^{\circ} \\ \theta_2 &=& -30.0^\circ \\ \theta_3 &=& 8.2^\circ \\ \theta_4 &=& -2.2^\circ \\ \theta_5 &=& 0.6^\circ \\ \theta_6 &=& -0.2^\circ \\ \theta_7 &=& 0.0^\circ \\ &\vdots& \\ \theta_{50} &=& 0.0^\circ. \end{eqnarray*}$$

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