Vectores y representación del Spinor en la teoría de supercuerdas de Ramond-Neveu-Schwarz

Question

Estoy aprendiendo Ramnond-Neveu-Schwarz supercuerdas teoría (RNS). A menudo encuentro la notación siguiente, especialmente en el espectro de cadena cerrada etcetera.:

$$\mathbf{8}_s,\mathbf{8}_v $$

Y se observa que estos son representaciones vectoriales y spinor de algo. Tengo dos preguntas con respecto a éstos.

1. ¿Cuáles son las representaciones de? ¿Son representaciones de $SO(8)$?

2. ¿Qué realmente significan? Cómo representas algo en notación vectorial/spinor.

Answer 1

Sí, son representaciones de $SO(8)$, más precisamente, $Spin(8)$ que es una "mejora" de $SO(8)$ que permite la rotación de 360 grados para ser representada por una matriz diferente de la unidad de la matriz, es decir, menos de la unidad matriz.

${\bf 8}_v$ transforma normalmente como $$ v\mapsto M v$$ donde $MM^T=1$ $8\times 8$ real ortogonal $SO(8)$ matriz. El spinor reps ${\bf 8}_s\oplus {\bf 8}_c$ etiqueta de la mano izquierda y la mano derecha spinor, respectivamente. La gente suele aprender spinors mucho antes de que el estudio de RNS la teoría de cuerdas.

El spinor representación se transforma en $SO(8)$ en una manera que es completamente codificados por las reglas de transformación bajo infinitesimal $SO(8)$ transformaciones, $1+i\omega_{ij} J^{ij}$ donde $\omega$ son el ángulo de parámetros y $J$ son los generadores de electricidad.

En la Dirac spinor representación, $J_{ij}$ es escrito como $$ J_{ij} = \frac{\gamma_i \gamma_j - \gamma_j\gamma_i}{4}$$ donde $\gamma$ son las matrices de Dirac que puede ser escrito como el tensor de productos de matrices de Pauli y la unidad de la matriz y que obedecen a $$\gamma_i\gamma_j+\gamma_j\gamma_i = 2\delta_{ij}\cdot {\bf 1}$$ Cada par de dimensiones duplica el tamaño de las matrices de Dirac por lo que la dimensión de la total "de Dirac" representación de $SO(2n)$$2^n$. Para $n=4$ obtenemos $2^4=16$.

Este 16 de dimensiones spinor representación es real y se puede dividir, de acuerdo con el autovalor de la $\Gamma_9$ quiralidad de la matriz, a las 8 dimensiones quirales (=Weyl) spinor representaciones etiquetados por los índices s,c.

Para $SO(8)$, hay 3 real 8-dimensiones irreductibles representaciones que son "igual de bien" y en realidad puede ser permutada por una operación llamada "trialidad". Esta operación puede ser visto como el $S_3$ permutación de simetría de las 3 patas de la Mercedes-logo-como $SO(8)$ diagrama de Dynkin. Acabo de escribir un texto acerca de la última noche:

http://motls.blogspot.cz/2013/04/complex-real-and-pseudoreal.html?m=1

Si usted realmente necesita para explicar lo que es una representación de un grupo, debe interrumpir sus estudios de teoría de la cuerda y se centran en la teoría de grupos – palabras clave Mentira grupos, álgebras de Lie, y la teoría de la representación. Sin este fondo, que se enfrentan a una confusión similar demasiado a menudo.